Реши

Краткие ответы

1. \(\angle ABK,\ \angle ABM,\ \angle ABC,\ \angle KBM,\ \angle KBC,\ \angle MBC\). Всего 6 углов.
2. \(30\text{ см}\).
3. \(\angle3=100^\circ\).
4. \(\angle AOM=10^\circ\).
5. Угол между биссектрисами равен \(45^\circ\).

Решение

1. Из точки \(B\) выходят 4 луча: \(BA\), \(BK\), \(BM\), \(BC\). Любые два луча образуют угол:

\[ \angle ABK,\ \angle ABM,\ \angle ABC, \] \[ \angle KBM,\ \angle KBC,\ \angle MBC. \]

Всего:

\[ \binom{4}{2}=6. \]

---

2. Диаметр окружности равен \(12\) см, значит радиус:

\[ r=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]

По условию:

\[ AC=CD=DB=6\text{ см}. \]

Стороны четырёхугольника \(ACDB\):

\[ AC,\ CD,\ DB,\ BA. \]

Причём \(BA\) — диаметр, поэтому \(BA=12\) см. Тогда

\[ P_{ACDB}=6+6+6+12=30\text{ см}. \]

---

3. Углы \(1,2,3\) составляют развернутый угол:

\[ \angle1+\angle2+\angle3=180^\circ. \]

Пусть одна часть равна \(x\). Тогда:

\[ \angle1=x,\quad \angle2=3x,\quad \angle3=5x. \]

\[ x+3x+5x=180^\circ, \]

\[ 9x=180^\circ,\quad x=20^\circ. \]

Следовательно,

\[ \angle3=5x=5\cdot20^\circ=\boxed{100^\circ}. \]

Проверка:

\[ 20^\circ+60^\circ+100^\circ=180^\circ. \]

---

4. Пусть

\[ \angle BOC=x. \]

Так как углы \(AOC\) и \(BOC\) смежные:

\[ \angle AOC+\angle BOC=180^\circ. \]

По условию \(\angle AOC=x+20^\circ\), поэтому:

\[ x+(x+20^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=160^\circ,\quad x=80^\circ. \]

Тогда:

\[ \angle AOC=80^\circ+20^\circ=100^\circ. \]

Так как \(OM\perp OC\),

\[ \angle MOC=90^\circ. \]

Луч \(OM\) находится внутри угла \(AOC\), значит:

\[ \angle AOM=\angle AOC-\angle MOC =100^\circ-90^\circ=\boxed{10^\circ}. \]

---

5. Найдём части угла \(ABC\).

\[ \angle MBC=\angle ABC-\angle ABM =60^\circ-50^\circ=10^\circ. \]

Так как лучи расположены в порядке \(BA,\ BK,\ BM,\ BC\), то:

\[ \angle KBM=\angle KBC-\angle MBC =40^\circ-10^\circ=30^\circ. \]

Теперь:

\[ \angle ABK=\angle ABM-\angle KBM =50^\circ-30^\circ=20^\circ. \]

Биссектриса угла \(ABK\) делит его пополам:

\[ \frac{20^\circ}{2}=10^\circ. \]

Угол \(CBM\) равен \(10^\circ\), его половина:

\[ \frac{10^\circ}{2}=5^\circ. \]

Угол между биссектрисами:

\[ 10^\circ+30^\circ+5^\circ=\boxed{45^\circ}. \]