1.5 1.6 1.17 1.21

Краткие ответы

1.5.
\[ \vec v(1)=(4\vec i+6\vec j+8\vec k)\ \text{см/с}, \qquad |\vec v|=2\sqrt{29}\approx10{,}8\ \text{см/с}. \]

1.6. Если \(x=a\cos\omega t\), то \[ \vec r=a\cos\omega t\,\vec i, \] \[ \vec r\cdot\vec v=-a^2\omega\sin\omega t\cos\omega t =-\frac{a^2\omega}{2}\sin 2\omega t, \] \[ \vec r\cdot\vec a=-a^2\omega^2\cos^2\omega t\le 0. \] Движение — прямолинейное гармоническое.

1.17. \[ L=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g},\qquad H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}, \] \[ T=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}, \] \[ y=x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}. \]

1.21.
\[ \rho\approx 6{,}3\ \text{м}. \]

---

Решение

№ 1.5

По условию: \[ \vec v=a(2\vec i+3\vec j+4\vec k),\qquad a=1+t. \]

При \(t=1\ \text{с}\): \[ a=1+1=2. \]

Поэтому \[ \vec v(1)=2(2\vec i+3\vec j+4\vec k) =(4\vec i+6\vec j+8\vec k)\ \text{см/с}. \]

Если требуется именно модуль скорости, то \[ v=\sqrt{4^2+6^2+8^2} =\sqrt{116}=2\sqrt{29}\approx10{,}8\ \text{см/с}. \]

---

№ 1.6

Чтобы не путать амплитуду \(a\) с ускорением, обозначим амплитуду через \(A\), где \(A=a\).

Дано: \[ x=A\cos\omega t. \]

Частица движется вдоль оси \(x\), поэтому

\[ \vec r=A\cos\omega t\,\vec i. \]

Скорость и ускорение находятся дифференцированием:

\[ \vec v=\frac{d\vec r}{dt} =-A\omega\sin\omega t\,\vec i, \]

\[ \vec a=\frac{d\vec v}{dt} =-A\omega^2\cos\omega t\,\vec i. \]

Скалярное произведение \(\vec r\cdot\vec v\)

\[ \vec r\cdot\vec v =(A\cos\omega t)(-A\omega\sin\omega t) \]

\[ \boxed{\vec r\cdot\vec v =-A^2\omega\sin\omega t\cos\omega t}. \]

Также \[ \vec r\cdot\vec v=\frac12\frac{d(r^2)}{dt}. \]

Значит:

• \(\vec r\cdot\vec v>0\) — частица удаляется от начала координат;
• \(\vec r\cdot\vec v<0\) — приближается к нему;
• \(\vec r\cdot\vec v=0\) — либо частица находится в начале координат, либо мгновенно остановилась в крайней точке.

Скалярное произведение \(\vec r\cdot\vec a\)

\[ \vec r\cdot\vec a =(A\cos\omega t)(-A\omega^2\cos\omega t), \]

\[ \boxed{\vec r\cdot\vec a =-A^2\omega^2\cos^2\omega t\le0}. \]

Это означает, что ускорение направлено противоположно смещению: \[ \boxed{\vec a=-\omega^2\vec r}. \]

Следовательно, ускорение всегда направлено к положению равновесия \(x=0\).

Направление движения определяется знаком скорости: \[ v_x=-A\omega\sin\omega t. \]

• если \(\sin\omega t>0\), движение идёт в сторону отрицательных \(x\);
• если \(\sin\omega t<0\), движение идёт в сторону положительных \(x\).

Это прямолинейное гармоническое колебательное движение с периодом \[ T=\frac{2\pi}{\omega}. \]

---

№ 1.17

Выберем начало координат в точке броска. Тогда

\[ x=v_0\cos\alpha\ t, \]

\[ y=v_0\sin\alpha\ t-\frac{gt^2}{2}. \]

Время полёта

При приземлении на тот же уровень \(y=0\):

\[ v_0\sin\alpha\ T-\frac{gT^2}{2}=0. \]

Кроме начального момента \(T=0\), получаем

\[ \boxed{T=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}}. \]

Дальность полёта

\[ L=x(T)=v_0\cos\alpha\cdot T. \]

Подставим время полёта:

\[ \boxed{L=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}}. \]

Максимальная высота

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю:

\[ v_y=v_0\sin\alpha-gt=0. \]

Отсюда \[ t_{\max}=\frac{v_0\sin\alpha}{g}. \]

Подстановка в \(y(t)\) даёт

\[ \boxed{H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}}. \]

Уравнение траектории

Из первого уравнения: \[ t=\frac{x}{v_0\cos\alpha}. \]

Подставим это в выражение для \(y\):

\[ \boxed{ y=x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} }. \]

Это уравнение параболы.

---

№ 1.21

Радиус кривизны можно найти по формуле

\[ \rho=\frac{v^3}{|\vec v\times\vec a|}. \]

Для движения тела под действием силы тяжести:

\[ \vec a=(0,-g). \]

Начальная скорость \(v_0=10\ \text{м/с}\), угол \(\alpha=45^\circ\).

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости через \(t=1\ \text{с}\):

\[ v_x=v_0\cos45^\circ=\frac{10}{\sqrt2}\approx7{,}07\ \text{м/с}, \]

\[ v_y=v_0\sin45^\circ-gt. \]

При \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\):

\[ v_y\approx7{,}07-9{,}8=-2{,}73\ \text{м/с}. \]

Модуль скорости:

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\approx7{,}58\ \text{м/с}. \]

Так как \[ |\vec v\times\vec a|=g|v_x|, \] то

\[ \rho=\frac{(v_x^2+v_y^2)^{3/2}}{g|v_x|}. \]

Подставляем:

\[ \rho\approx \frac{(7{,}07^2+2{,}73^2)^{3/2}} {9{,}8\cdot7{,}07} \approx6{,}28\ \text{м}. \]

\[ \boxed{\rho\approx6{,}3\ \text{м}}. \]

При приближённом \(g=10\ \text{м/с}^2\) получается \(6{,}34\ \text{м}\), то есть тот же ответ с округлением.