Построй параллелограмм по заданию

Краткий ответ: для построения параллелограмма сначала строят необходимые стороны или диагонали, а затем проводят параллельные прямые.

На фото упражнение 496 — рассмотрим все три пункта.

а) По двум смежным сторонам и углу между ними

Дано: \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

1. Построй отрезок \(AB=a\).
2. В точке \(A\) построй угол \(\angle BAD=\alpha\).
3. На второй стороне угла отложи \(AD=b\).
4. Через \(B\) проведи прямую, параллельную \(AD\).
5. Через \(D\) проведи прямую, параллельную \(AB\).
6. Точку пересечения обозначь \(C\).

Получится параллелограмм \(ABCD\), потому что
\(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\).

б) По двум диагоналям и углу между ними

Дано: диагонали \(AC=d_1\), \(BD=d_2\), угол между ними \(\varphi\).

1. Возьми точку \(O\) — точку пересечения диагоналей.
2. Построй через \(O\) две прямые под углом \(\varphi\).
3. На первой прямой отложи в противоположных направлениях: \[ OA=OC=\frac{d_1}{2}. \]
4. На второй прямой также отложи: \[ OB=OD=\frac{d_2}{2}. \]
5. Соедини точки \(A,B,C,D\) по порядку.

Построен параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам: \[ OA=OC,\qquad OB=OD. \]

в) По двум смежным сторонам и диагонали, соединяющей их концы

Дано: \[ AB=a,\qquad AD=b,\qquad BD=d. \]

1. Построй отрезок \(AB=a\).
2. Проведи окружность с центром \(A\) и радиусом \(b\).
3. Проведи окружность с центром \(B\) и радиусом \(d\).
4. Точку их пересечения обозначь \(D\). Получен треугольник \(ABD\).
5. Через \(B\) проведи прямую, параллельную \(AD\).
6. Через \(D\) проведи прямую, параллельную \(AB\).
7. Точку пересечения этих прямых обозначь \(C\).

Тогда \(ABCD\) — искомый параллелограмм: \[ AB\parallel CD,\qquad AD\parallel BC. \]

Построение в пункте в) возможно, если стороны треугольника \(ABD\) удовлетворяют неравенству: \[ |a-b|<d<a+b. \]