Реши номер 380

Краткий ответ: \(ABCD\) и \(MNPQ\) — параллелограммы.

1. Докажем, что \(ABCD\) — параллелограмм

Так как точки лежат на соответствующих сторонах, то

\[ AB=AM+MB. \]

По условию \(AM=CP\) и \(BM=DP\), значит

\[ AB=CP+DP=CD. \]

Аналогично:

\[ BC=BN+NC=DQ+QA=DA. \]

Получили:

\[ AB=CD,\qquad BC=DA. \]

В четырёхугольнике равенство двух пар противоположных сторон означает, что \(ABCD\) — параллелограмм.

Следовательно, его противоположные углы равны:

\[ \angle ABC=\angle CDA,\qquad \angle BCD=\angle DAB. \]

2. Докажем, что \(MNPQ\) — параллелограмм

Рассмотрим треугольники \(MBN\) и \(PDQ\):

\[ MB=DP,\qquad BN=DQ, \]

а углы между этими сторонами равны:

\[ \angle MBN=\angle PDQ. \]

Значит,

\[ \triangle MBN\cong\triangle PDQ \]

по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

\[ MN=PQ. \]

Теперь рассмотрим треугольники \(NCP\) и \(QAM\):

\[ NC=QA,\qquad CP=AM, \]

и

\[ \angle NCP=\angle QAM. \]

Следовательно,

\[ \triangle NCP\cong\triangle QAM, \]

откуда

\[ NP=QM. \]

Итак, в четырёхугольнике \(MNPQ\) равны две пары противоположных сторон:

\[ MN=PQ,\qquad NP=QM. \]

Значит, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Проверка: обе нужные пары противоположных сторон равны, поэтому вывод верен.