2

Краткий ответ: \(35\) суток.

Пусть:

• \(v\) — скорость парохода относительно воды;
• \(u\) — скорость течения;
• \(S\) — расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани.

По течению пароход проходит путь за \(5\) суток:

\[ S=5(v+u). \]

Против течения он проходит тот же путь за \(7\) суток:

\[ S=7(v-u). \]

Приравняем:

\[ 5(v+u)=7(v-u), \]

\[ 5v+5u=7v-7u, \]

\[ 12u=2v,\qquad v=6u. \]

Тогда:

\[ S=5(6u+u)=35u. \]

Плот плывёт со скоростью течения \(u\), поэтому:

\[ t=\frac{S}{u}=\frac{35u}{u}=35\text{ суток}. \]

Проверка: при \(v=6u\) скорость парохода по течению \(7u\), поэтому \(35u:7u=5\) суток; против течения \(5u\), поэтому \(35u:5u=7\) суток.