В единичном кубе нужно найти расстояние от точки B до плоскости AD1B1 11 класс
Краткий ответ: \[ \boxed{d\bigl(B,(AD_1B_1)\bigr)=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}} \]
Решение
Введём координаты, считая ребро куба равным \(1\):
\[ A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad D_1(0,1,1),\quad B_1(1,0,1). \]
Направляющие векторы плоскости \(AD_1B_1\):
\[ \overrightarrow{AD_1}=(0,1,1),\qquad \overrightarrow{AB_1}=(1,0,1). \]
Их векторное произведение — нормаль к плоскости:
\[ \vec n=\overrightarrow{AD_1}\times\overrightarrow{AB_1} =(1,1,-1). \]
Так как плоскость проходит через начало координат \(A\), её уравнение:
\[ x+y-z=0. \]
Расстояние от точки \(B(1,0,0)\) до плоскости вычислим по формуле:
\[ d=\frac{|1+0-0|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} =\frac1{\sqrt3}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{d=\frac{\sqrt3}{3}}. \]
Проверка: длина нормали равна \(\sqrt3\), а подстановка координат точки \(B\) в левую часть уравнения плоскости даёт \(1\), поэтому расстояние действительно равно \(1/\sqrt3\).
Обсуждение
4 сообщениярешение через высоту
Пусть \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на плоскость \(AD_1B_1\). Тогда искомое расстояние — это высота \(BH=h\).
Рассмотрим тетраэдр \(BAD_1B_1\).
1. Найдём его объём другим способом
Возьмём за основание треугольник \(ABB_1\):
\[ S_{\triangle ABB_1}=\frac12\cdot AB\cdot BB_1=\frac12. \]
Расстояние от \(D_1\) до плоскости \(ABB_1\) равно \(D_1A_1=1\). Поэтому
\[ V_{BAD_1B_1}=\frac13\cdot\frac12\cdot1=\frac16. \]
2. Выразим объём через искомую высоту
Треугольник \(AD_1B_1\) — равносторонний, так как его стороны являются диагоналями граней куба:
\[ AD_1=D_1B_1=AB_1=\sqrt2. \]
Его площадь:
\[ S_{\triangle AD_1B_1} =\frac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2 =\frac{\sqrt3}{2}. \]
Теперь высота тетраэдра к этому основанию равна \(BH=h\):
\[ V_{BAD_1B_1} =\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot h. \]
Приравниваем объёмы:
\[ \frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}h=\frac16, \]
\[ h=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}. \]
\[ \boxed{d\bigl(B,(AD_1B_1)\bigr)=\frac{\sqrt3}{3}} \]
в единичном кубе нужно найти расстояние от точки B до плоскости AD1B1 где основания лежат сверху и снизу 11 класс
Пусть нижнее основание куба — \(ABCD\), а верхнее — \(A_1B_1C_1D_1\). Если на рисунке наоборот, результат не изменится.
Искомое расстояние — это высота \(BH\) тетраэдра \(BAD_1B_1\), где \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на плоскость \(AD_1B_1\).
1. Найдём объём тетраэдра другим способом
Возьмём за основание треугольник \(ABB_1\). Это прямоугольный треугольник:
\[ S_{ABB_1}=\frac12\cdot AB\cdot BB_1=\frac12. \]
Расстояние от \(D_1\) до плоскости \(ABB_1\) равно ребру куба:
\[ D_1A_1=1. \]
Поэтому
\[ V_{BAD_1B_1} =\frac13\cdot\frac12\cdot1 =\frac16. \]
2. Выразим объём через искомую высоту
Треугольник \(AD_1B_1\) равносторонний: все его стороны являются диагоналями граней куба,
\[ AD_1=D_1B_1=AB_1=\sqrt2. \]
Его площадь:
\[ S_{AD_1B_1} =\frac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2 =\frac{\sqrt3}{2}. \]
Теперь основанием тетраэдра является \(AD_1B_1\), а высотой — искомое расстояние \(BH=h\):
\[ V_{BAD_1B_1} =\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot h. \]
Приравняем объёмы:
\[ \frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}h=\frac16, \]
\[ h=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{d\bigl(B,(AD_1B_1)\bigr)=\frac{\sqrt3}{3}}. \]
