Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(\displaystyle \frac75\)
- \(0\)
- \(27\)
- \(x=5\)
- \(\displaystyle x=-\frac52\)
- \(x=9\)
- \(81\)
- а) \(\displaystyle x=\frac\pi2+\pi k\) или \(\displaystyle x=-\frac\pi3+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
б) Корни на отрезке \(\left[-4\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) перечислены ниже.
Решение
1
\[ 35^{-4,7}\cdot 7^{5,7}:5^{-3,7} \]
Так как \(35=5\cdot7\), а деление на \(5^{-3,7}\) заменяем умножением на \(5^{3,7}\):
\[ (5\cdot7)^{-4,7}\cdot7^{5,7}\cdot5^{3,7} \]
\[ =5^{-4,7+3,7}\cdot7^{-4,7+5,7} =5^{-1}\cdot7=\frac75. \]
Ответ: \(\boxed{\frac75}\).
2
\[ \frac{\sqrt{128}}{\sqrt2}-\sqrt{200}\cdot\sqrt{0,32} \]
\[ \frac{\sqrt{128}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{128}{2}}=\sqrt{64}=8, \]
\[ \sqrt{200}\cdot\sqrt{0,32} =\sqrt{200\cdot0,32} =\sqrt{64}=8. \]
\[ 8-8=0. \]
Ответ: \(\boxed{0}\).
3
\[ 5^{2\log_5 3}\cdot\log_2 8 \]
Используем свойство \(5^{\log_5 3}=3\):
\[ 5^{2\log_5 3}=\left(5^{\log_5 3}\right)^2=3^2=9. \]
Кроме того,
\[ \log_2 8=3. \]
Следовательно,
\[ 9\cdot3=27. \]
Ответ: \(\boxed{27}\).
4
\[ 9^{x-4}+2\cdot9^{x-3}=171 \]
Вынесем \(9^{x-4}\):
\[ 9^{x-4}(1+2\cdot9)=171, \]
\[ 19\cdot9^{x-4}=171. \]
Так как \(171:19=9\), получаем:
\[ 9^{x-4}=9=9^1. \]
Значит,
\[ x-4=1,\qquad x=5. \]
Проверка:
\[ 9^{1}+2\cdot9^2=9+162=171. \]
Ответ: \(\boxed{x=5}\).
5
\[ \ln(x+4)-\ln(x+3)=\ln3 \]
ОДЗ:
\[ x+4>0,\quad x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-3. \]
Объединим логарифмы:
\[ \ln\frac{x+4}{x+3}=\ln3. \]
Значит,
\[ \frac{x+4}{x+3}=3. \]
\[ x+4=3x+9, \]
\[ -5=2x,\qquad x=-\frac52. \]
Число \(-\frac52>-3\), поэтому оно подходит.
Ответ: \(\boxed{x=-\frac52}\).
6
\[ \sqrt{x}+1=x-5 \]
Пусть
\[ t=\sqrt{x},\qquad t\ge0,\qquad x=t^2. \]
Тогда
\[ t+1=t^2-5, \]
\[ t^2-t-6=0, \]
\[ (t-3)(t+2)=0. \]
Так как \(t\ge0\), подходит только \(t=3\). Поэтому
\[ x=t^2=9. \]
Проверка:
\[ \sqrt9+1=3+1=4,\qquad 9-5=4. \]
Ответ: \(\boxed{x=9}\).
7
\[ 27\sqrt6\cdot\tg\frac\pi3\cdot\sin\frac{3\pi}{4} \]
Знаем:
\[ \tg\frac\pi3=\sqrt3,\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Тогда
\[ 27\sqrt6\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{27\sqrt{36}}2 = \frac{27\cdot6}{2}=81. \]
Ответ: \(\boxed{81}\).
8а
\[ 2\sqrt3\sin^2\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)+\sin2x=0 \]
Так как
\[ \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos x, \]
то
\[ \sin^2\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=\cos^2x. \]
Получаем:
\[ 2\sqrt3\cos^2x+\sin2x=0. \]
Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):
\[ 2\sqrt3\cos^2x+2\sin x\cos x=0, \]
\[ 2\cos x(\sqrt3\cos x+\sin x)=0. \]
Отсюда:
\(\cos x=0\), поэтому \[ x=\frac\pi2+\pi k; \]
\(\sqrt3\cos x+\sin x=0\), поэтому \[ \tg x=-\sqrt3, \qquad x=-\frac\pi3+\pi k. \]
где \(k\in\mathbb Z\).
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac\pi2+\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac\pi3+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.} \]
8б
Для первой серии
\[ x=\frac\pi2+\pi k \]
на отрезке \(\left[-4\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем \(k=-4,-3,-2,-1,0,1,2\):
\[ -\frac{7\pi}{2},\ -\frac{5\pi}{2},\ -\frac{3\pi}{2},\ -\frac\pi2,\ \frac\pi2,\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2}. \]
Для второй серии
\[ x=-\frac\pi3+\pi k \]
получаем \(k=-3,-2,-1,0,1,2\):
\[ -\frac{10\pi}{3},\ -\frac{7\pi}{3},\ -\frac{4\pi}{3},\ -\frac\pi3,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \begin{gathered} -\frac{7\pi}{2},-\frac{10\pi}{3},-\frac{5\pi}{2},-\frac{7\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2},-\frac{4\pi}{3},-\frac\pi2,-\frac\pi3,\\ \frac\pi2,\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3},\frac{5\pi}{2} \end{gathered}} \]
