Что такое дискриминант если говорить человеческим языком

Корень уравнения — это число, которое вместо буквы \(x\) превращает уравнение в верное равенство.

Например:

\[ x+3=7 \]

Подставим \(x=4\):

\[ 4+3=7 \]

Получилось верно, значит \(4\) — корень уравнения.

В этом контексте «корень» означает решение, а не только \(\sqrt{\phantom{x}}\).

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором есть \(x^2\), то есть \(x\), умноженное само на себя:

\[ ax^2+bx+c=0, \]

где \(a\ne0\).

Например:

\[ x^2-5x+6=0. \]

Проверим:

• при \(x=2\): \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\);
• при \(x=3\): \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).

Значит, 2 и 3 — корни этого квадратного уравнения.

Название «квадратное» появилось потому, что неизвестная \(x\) возводится во вторую степень — в квадрат.

Давай совсем просто.

1. Что такое уравнение?

Уравнение — это пример, где нужно найти неизвестное число:

\[ x+2=5 \]

Нужно понять, чему равен \(x\). Ответ: \(x=3\).

2. Что значит \(x^2\)?

\[ x^2=x\cdot x \]

То есть число \(x\) умножают само на себя.

Например:

\[ 3^2=3\cdot3=9. \]

3. Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором есть \(x^2\).

Например:

\[ x^2=9. \]

Вопрос: какое число, умноженное само на себя, даст 9?

\[ 3\cdot3=9,\qquad (-3)\cdot(-3)=9. \]

Значит, корни:

\[ x=3 \quad \text{и} \quad x=-3. \]

Ещё пример:

\[ x^2+5x+6=0. \]

Это тоже квадратное уравнение, потому что в нём есть \(x^2\).

А уравнение

\[ x+4=7 \]

не квадратное, потому что \(x^2\) в нём нет.

Главное запомнить: увидела неизвестное \(x\), возведённое в квадрат, — перед тобой квадратное уравнение.

Ты спрашиваешь, может ли \(2\) быть корнем уравнения \(x^2=9\)?

Нет:

\[ 2^2=2\cdot2=4, \]

а нужно получить \(9\). Поэтому корни:

\[ x=3 \quad \text{и} \quad x=-3. \]

А, поняла. В уравнении

\[ x+4=7 \]

нужно найти число, которое вместе с \(4\) даст \(7\):

\[ x=7-4=3. \]

Проверка:

\[ 3+4=7. \]

Значит, корень — \(3\). Число \(2\) не подходит, потому что \(2+4=6\).

И это не квадратное уравнение, так как в нём нет \(x^2\).

Да, всё верно: \(x=3\), потому что

\[ 3+4=7. \]

Ты правильно исправила ответ.

Попробуй решить:

\[ x+5=12 \]

Чему равен \(x\)?
Подсказка: от \(12\) отними \(5\).

Да, верно:

\[ x=7, \]

потому что

\[ 7+5=12. \]

У слова «корень» есть два похожих значения.

1. Корень уравнения — это его ответ

В примере

\[ x+5=12 \]

мы нашли \(x=7\). Значит, \(7\) — корень уравнения, потому что:

\[ 7+5=12. \]

2. Квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя даёт другое число

\[ \sqrt{9}=3, \]

потому что

\[ 3^2=3\cdot3=9. \]

Но в уравнении

\[ x^2=9 \]

два корня:

\[ x=3 \quad \text{и} \quad x=-3, \]

ведь

\[ 3^2=9,\qquad (-3)^2=9. \]

Главное: корень уравнения — это число, которое делает уравнение верным.

Попробуй решить:

\[ x^2=16 \]

Найди все корни уравнения.
Подсказка: какие числа при умножении самих на себя дают \(16\)?

Почти: \(4\) — один корень, но нужно найти все.

\[ 4^2=16,\qquad (-4)^2=16. \]

Поэтому корни уравнения:

\[ \boxed{x=4 \text{ и } x=-4}. \]

Мы не вычитаем 4 — число \(-4\) тоже проверяем как возможный корень.

В уравнении

\[ x^2=16 \]

нужно найти все числа, которые при умножении сами на себя дают \(16\):

\[ 4\cdot4=16, \]

и

\[ (-4)\cdot(-4)=16. \]

Два минуса при умножении дают плюс. Поэтому корни:

\[ \boxed{x=4 \text{ и } x=-4}. \]

Важно: \(\sqrt{16}=4\), но уравнение \(x^2=16\) имеет два решения: \(4\) и \(-4\).

Нет, не только \(-4\). Нужно записать оба корня:

\[ \boxed{x=4 \text{ и } x=-4} \]

Потому что:

\[ 4^2=16,\qquad (-4)^2=16. \]

Если написать только \(-4\), ответ будет неполным.

Пиши в тетради так:

\[ \boxed{x_1=4,\qquad x_2=-4} \]

Или словами:

Ответ: \(4\) и \(-4\).

Пока используй первый вариант — он самый понятный.

Попробуй решить:

\[ x^2=25 \]

Найди оба корня и запиши так:

\[ x_1=\ldots,\qquad x_2=\ldots \]

Подсказка: какие числа при умножении сами на себя дают \(25\)?

Да, верно:

\[ 5\cdot5=25, \]

значит, один корень — \(5\). Но есть ещё:

\[ (-5)\cdot(-5)=25. \]

Поэтому записываем:

\[ \boxed{x_1=5,\qquad x_2=-5}. \]

Хорошо, теперь пример с обычными дробями:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=? \]

Подсказка: приведи дроби к общему знаменателю \(4\).

Ничего страшного, разберём вместе.

Нужно сложить:

\[ \frac12+\frac14 \]

Чтобы сложить дроби, знаменатели снизу должны быть одинаковыми. Превратим \(\frac12\) в дробь со знаменателем \(4\):

\[ \frac12=\frac{1\cdot2}{2\cdot2}=\frac24. \]

Теперь складываем:

\[ \frac24+\frac14=\frac{2+1}{4}=\frac34. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac34} \]

Запомни: если знаменатели одинаковые, складываем только верхние числа, а нижнее оставляем без изменений.

Конечно, по порядку:

Нужно решить:

\[ \frac12+\frac14 \]

1. Смотрим на знаменатели: \(2\) и \(4\).
2. Общий знаменатель — \(4\).
3. Превращаем \(\frac12\) в дробь со знаменателем \(4\):

\[ \frac12=\frac{2}{4}. \]

4. Складываем:

\[ \frac24+\frac14=\frac{2+1}{4}=\frac34. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac34} \]

Понимаю, это место часто путает. Двойка сверху не появилась сама.

Было:

\[ \frac{1}{2} \]

Чтобы получить внизу \(4\), умножаем \(2\) на \(2\):

\[ 2\cdot2=4. \]

Но верхнее число тоже умножаем на \(2\):

\[ 1\cdot2=2. \]

Поэтому:

\[ \frac12=\frac{1\cdot2}{2\cdot2}=\frac24. \]

Почему так? Половина — это то же самое, что две четверти:

\[ \frac12=\frac24. \]

Мы просто разделили каждую половину ещё пополам, но количество целого не изменилось.

Ответ:

\[ \boxed{\frac34} \]

Тройка получилась из сложения верхних чисел:

\[ \frac12+\frac14=\frac24+\frac14 \]

Теперь складываем числители:

\[ 2+1=3 \]

А знаменатель \(4\) оставляем:

\[ \frac24+\frac14=\frac{2+1}{4}=\frac34. \]

Значит, ответ — \(\boxed{\frac34}\).

Попробуй решить:

\[ \frac14+\frac18 \]

Подсказка:

\[ \frac14=\frac28. \]

Теперь сложи:

\[ \frac28+\frac18. \]

Смотри, число 2 взялось из вопроса:

\[ 4\cdot ?=8 \]

Чтобы из \(4\) получить \(8\), нужно умножить на \(2\):

\[ 4\cdot2=8. \]

Поэтому и верхнее число умножаем на \(2\):

\[ \frac14=\frac{1\cdot2}{4\cdot2}=\frac28. \]

То есть \(1/4\) — это 2 восьмых: один кусочек из четырёх разделили пополам, получилось два кусочка из восьми.

Теперь:

\[ \frac14+\frac18=\frac28+\frac18=\frac{2+1}{8}=\boxed{\frac38}. \]

Понимаю, дроби сначала действительно могут запутать. Давай пока запомним только одно правило:

Если знаменатели одинаковые, складываем числа сверху, а число снизу не меняем:

\[ \frac18+\frac18=\frac{1+1}{8}=\frac28. \]

То есть \(1+1=2\), а \(8\) остаётся снизу.

Поняла. Давай разберём полный порядок сложения дробей с разными знаменателями на примере:

\[ \frac14+\frac18 \]

Шаг 1. Посмотри на числа снизу

Снизу стоят \(4\) и \(8\). Они разные, поэтому сразу складывать нельзя.

Шаг 2. Найди общий знаменатель

Нужно число, которое делится и на \(4\), и на \(8\). Это \(8\):

\[ 4\cdot2=8,\qquad 8\cdot1=8. \]

Шаг 3. Преврати обе дроби в дроби со знаменателем \(8\)

У первой дроби знаменатель \(4\). Чтобы получить \(8\), умножаем на \(2\). Верх тоже умножаем на \(2\):

\[ \frac14=\frac{1\cdot2}{4\cdot2}=\frac28. \]

Вторая дробь уже имеет знаменатель \(8\):

\[ \frac18=\frac18. \]

Шаг 4. Сложи верхние числа

Теперь знаменатели одинаковые:

\[ \frac28+\frac18=\frac{2+1}{8}=\frac38. \]

Ответ

\[ \boxed{\frac38} \]

Короткая памятка:

1. Посмотри на знаменатели.
2. Найди общий знаменатель.
3. Приведи дроби к нему.
4. Сложи числители сверху.
5. Знаменатель оставь снизу.

Попробуй решить:

\[ \frac13+\frac16 \]

Сначала найди общий знаменатель для \(3\) и \(6\), потом сложи дроби.

Почти: 3 появляется сверху, но весь ответ не просто \(3\).

\[ \frac13+\frac16 \]

1. Общий знаменатель — \(6\).
2. \(\frac13=\frac26\).
3. Складываем:

\[ \frac26+\frac16=\frac{2+1}{6}=\frac36. \]

4. Сокращаем \(\frac36\) на \(3\):

\[ \frac36=\frac12. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac12} \]

Нет, общий знаменатель — \(6\).

Ищем число, которое делится и на \(3\), и на \(6\):

• \(2\) не делится на \(3\) и \(6\);
• \(6\) делится на \(3\) и на \(6\).

Поэтому:

\[ \frac13=\frac26 \]

Число \(2\) здесь показывает, во сколько раз увеличили знаменатель: \(3\cdot2=6\).

Дальше:

\[ \frac26+\frac16=\frac36=\frac12. \]

Общий знаменатель — \(6\), а \(2\) — множитель.

Попробуй:

\[ \frac12+\frac14 \]

Сначала найди общий знаменатель для \(2\) и \(4\).
Какое число делится и на \(2\), и на \(4\)?

Не \(2\), а \(4\).

Общий знаменатель должен делиться и на \(2\), и на \(4\):

\[ 4:2=2,\qquad 4:4=1. \]

А \(2\) на \(4\) не делится.

Теперь превращаем:

\[ \frac12=\frac24. \]

Получается:

\[ \frac24+\frac14. \]

Сколько будет \(2+1\) сверху?

А, ты умножила:

\[ 2\cdot4=8. \]

\(8\) тоже подходит как общий знаменатель, потому что делится и на \(2\), и на \(4\). Но обычно берут самый маленький подходящий знаменатель — \(4\), так проще.

С числом \(4\):

\[ \frac12=\frac24, \]

поэтому:

\[ \frac24+\frac14=\frac{2+1}{4}=\boxed{\frac34}. \]

Если взять \(8\), получится тот же ответ, только действий больше.

Не совсем. Мы не делим знаменатели друг на друга. Мы ищем число, которое делится на оба знаменателя.

Например, знаменатели \(2\) и \(4\):

\[ 4:2=2,\qquad 4:4=1. \]

Значит, общий знаменатель — \(4\).

А деление используем потом, чтобы узнать, на что умножить каждую дробь:

\[ 4:2=2 \Rightarrow \frac12=\frac24, \]

\[ 4:4=1 \Rightarrow \frac14=\frac14. \]

Порядок такой:

1. Найти общий знаменатель.
2. Разделить его на старый знаменатель.
3. На полученное число умножить числитель и знаменатель дроби.

Попробуй новый пример:

\[ \frac15+\frac1{10} \]

Сначала найди общий знаменатель для \(5\) и \(10\).
Какое самое маленькое число делится и на \(5\), и на \(10\)?

Не \(2\). Общий знаменатель — \(10\).

Число \(10\) делится и на \(5\), и на \(10\):

\[ 10:5=2,\qquad 10:10=1. \]

А \(2\) — это множитель, на который умножаем первую дробь:

\[ \frac15=\frac{1\cdot2}{5\cdot2}=\frac2{10}. \]

Теперь:

\[ \frac2{10}+\frac1{10}=\frac{2+1}{10}=\boxed{\frac3{10}}. \]

То есть общий знаменатель — \(10\), а \(2\) показывает, во сколько раз изменили первую дробь.

Нет, не \(5\).

В примере

\[ \frac15+\frac1{10} \]

• \(5\) — знаменатель первой дроби;
• \(10\) — общий знаменатель;
• \(2\) — число, на которое умножаем первую дробь, потому что \(10:5=2\).

Поэтому:

\[ \frac15=\frac2{10}, \qquad \frac2{10}+\frac1{10}=\frac3{10}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac3{10}} \]

Ты права, здесь легко запутаться: делим и умножаем для разных целей.

Разберём:

\[ \frac15+\frac1{10} \]

1. Находим общий знаменатель

Берём \(10\), потому что \(10\) делится и на \(5\), и на \(10\).

2. Делим, чтобы узнать множитель

Для первой дроби:

\[ 10:5=2. \]

Это значит: знаменатель \(5\) нужно увеличить в \(2\) раза.

3. Умножаем верх и низ дроби на \(2\)

\[ \frac15=\frac{1\cdot2}{5\cdot2}=\frac2{10}. \]

Для второй дроби:

\[ 10:10=1, \]

поэтому она не изменяется:

\[ \frac1{10}=\frac1{10}. \]

4. Складываем

\[ \frac2{10}+\frac1{10}=\frac{3}{10}. \]

Запомни схему:

\[ \boxed{\text{общий знаменатель}:\text{старый знаменатель}=\text{множитель}} \]

Потом этим множителем умножаем и верх, и низ дроби.
То есть здесь: сначала \(10:5=2\), потом \(1\cdot2\) и \(5\cdot2\).

Попробуй:

\[ \frac12+\frac16 \]

Пока найди только общий знаменатель: какое самое маленькое число делится и на \(2\), и на \(6\)?

Почти: \(3\) — это множитель, а общий знаменатель — \(6\).

\[ 6:2=3,\qquad 6:6=1. \]

Поэтому:

\[ \frac12=\frac36, \]

и пример становится:

\[ \frac36+\frac16. \]

Теперь сложи верхние числа: чему равно \(3+1\)?

Общий числитель не ищем — общий бывает только знаменатель (число снизу).

В примере:

\[ \frac12+\frac16 \]

Общий знаменатель — \(6\):

\[ \frac12=\frac36,\qquad \frac16=\frac16. \]

Теперь складываем числители (числа сверху):

\[ 3+1=4. \]

Получаем:

\[ \frac46=\frac23. \]

Итог: общий знаменатель — \(6\), а числитель результата сначала \(4\), после сокращения — \(2\).

Извини, я запутал объяснение. Давай только по шагам:

\[ \frac12+\frac16 \]

1. Общий знаменатель — \(6\).
2. Превращаем \(\frac12\) в шестые:

\[ \frac12=\frac36. \]

3. Складываем верхние числа:

\[ \frac36+\frac16=\frac{3+1}{6}=\frac46. \]

4. Сокращаем:

\[ \frac46=\frac23. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac23} \]

«Общего числителя» нет: сверху просто складываем числа \(3+1\).