Ничего страшного — я объяснила слишком быстро. Давай только пункт б и очень медленно.

Дано:

\[ \frac{\tg\frac{2\pi}{3}-\tg\frac{5\pi}{12}} {1+\tg\frac{2\pi}{3}\tg\frac{5\pi}{12}} \]

Есть готовое правило:

\[ \frac{\tg A-\tg B}{1+\tg A\cdot\tg B} =\tg(A-B). \]

В нашем примере:

\[ A=\frac{2\pi}{3},\qquad B=\frac{5\pi}{12}. \]

Значит, вся дробь сразу превращается в:

\[ \tg\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{5\pi}{12}\right). \]

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{2\pi}{3}=\frac{8\pi}{12}. \]

Тогда:

\[ \frac{8\pi}{12}-\frac{5\pi}{12} =\frac{3\pi}{12} =\frac{\pi}{4}. \]

Получаем:

\[ \tg\frac{\pi}{4}=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{1} \]

Главное: не нужно отдельно вычислять два тангенса. Мы узнаём в дроби готовую формулу и заменяем её одним тангенсом. Какой пункт разобрать так же медленно: а, в или г?

8 получается из \(2\cdot4\).

Нам нужно привести дробь

\[ \frac{2\pi}{3} \]

к знаменателю \(12\). Для этого знаменатель \(3\) умножаем на \(4\):

\[ 3\cdot4=12. \]

Чтобы значение дроби не изменилось, числитель тоже умножаем на \(4\):

\[ \frac{2\pi}{3} =\frac{2\pi\cdot4}{3\cdot4} =\frac{8\pi}{12}. \]

Поэтому:

\[ \frac{2\pi}{3}-\frac{5\pi}{12} = \frac{8\pi}{12}-\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}. \]

То есть \(8=2\cdot4\).

Разберём по одному плану, чтобы потом ты могла решать такие задания сама.

План решения

1. По промежутку определить четверть угла.
2. Найти недостающие \(\sin\) или \(\cos\) по формуле
   \[ \sin^2x+\cos^2x=1. \]
3. Подставить значения в формулы:

\[ \sin 2x=2\sin x\cos x, \]

\[ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x, \]

\[ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \]

Знаки в четвертях

Четверть	\(\sin\)	\(\cos\)
I	\(+\)	\(+\)
II	\(+\)	\(-\)
III	\(-\)	\(-\)
IV	\(-\)	\(+\)

---

а)

Дано:

\[ \sin\alpha=\frac45,\qquad \cos\beta=-\frac5{13}. \]

Также:

\[ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi. \]

Значит, \(\beta\) находится во II четверти. Поэтому:

\[ \sin\beta>0. \]

Находим \(\sin\beta\):

\[ \sin^2\beta+\cos^2\beta=1, \]

\[ \sin^2\beta+\left(-\frac5{13}\right)^2=1, \]

\[ \sin^2\beta=1-\frac{25}{169} =\frac{144}{169}. \]

Так как синус во II четверти положительный,

\[ \sin\beta=\frac{12}{13}. \]

Важное замечание про \(\alpha\)

На фото условие читается так:

\[ -\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi. \]

Этого недостаточно, чтобы однозначно определить знак \(\cos\alpha\). Угол \(\alpha\) может быть в I или во II четверти.

Из

\[ \sin\alpha=\frac45 \]

получаем:

\[ \cos^2\alpha=1-\frac{16}{25} =\frac9{25}, \]

поэтому

\[ \cos\alpha=\pm\frac35. \]

Если \(\alpha\) в I четверти

Тогда \(\cos\alpha=\frac35\).

\[ \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\frac45\cdot\frac35 =\frac{24}{25}. \]

\[ \cos2\beta =\cos^2\beta-\sin^2\beta =\frac{25}{169}-\frac{144}{169} =-\frac{119}{169}. \]

\[ \sin(\alpha-\beta) =\frac45\cdot\left(-\frac5{13}\right) -\frac35\cdot\frac{12}{13} \]

\[ =-\frac{20}{65}-\frac{36}{65} =-\frac{56}{65}. \]

\[ \cos(\alpha+\beta) =\frac35\cdot\left(-\frac5{13}\right) -\frac45\cdot\frac{12}{13} \]

\[ =-\frac{15}{65}-\frac{48}{65} =-\frac{63}{65}. \]

Получается:

\[ \boxed{ \sin2\alpha=\frac{24}{25},\quad \cos2\beta=-\frac{119}{169},\quad \sin(\alpha-\beta)=-\frac{56}{65},\quad \cos(\alpha+\beta)=-\frac{63}{65} } \]

Если \(\alpha\) во II четверти

Тогда \(\cos\alpha=-\frac35\).

\[ \sin2\alpha =2\cdot\frac45\cdot\left(-\frac35\right) =-\frac{24}{25}. \]

\[ \sin(\alpha-\beta) =\frac45\cdot\left(-\frac5{13}\right) -\left(-\frac35\right)\cdot\frac{12}{13} \]

\[ =-\frac{20}{65}+\frac{36}{65} =\frac{16}{65}. \]

\[ \cos(\alpha+\beta) =\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac5{13}\right) -\frac45\cdot\frac{12}{13} \]

\[ =\frac{15}{65}-\frac{48}{65} =-\frac{33}{65}. \]

Тогда:

\[ \boxed{ \sin2\alpha=-\frac{24}{25},\quad \cos2\beta=-\frac{119}{169},\quad \sin(\alpha-\beta)=\frac{16}{65},\quad \cos(\alpha+\beta)=-\frac{33}{65} } \]

---

б)

Дано:

\[ \cos\alpha=0{,}6=\frac35,\qquad \sin\beta=-\frac8{17}. \]

Находим \(\sin\alpha\)

\[ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi, \]

значит, \(\alpha\) в IV четверти, где синус отрицательный:

\[ \sin\alpha =-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac9{25}} =-\frac45. \]

Находим \(\cos\beta\)

\[ \pi<\beta<\frac{3\pi}{2}, \]

значит, \(\beta\) в III четверти, где косинус отрицательный:

\[ \cos\beta =-\sqrt{1-\sin^2\beta} =-\sqrt{1-\frac{64}{289}} =-\frac{15}{17}. \]

Теперь все четыре значения известны:

\[ \cos\alpha=\frac35,\quad \sin\alpha=-\frac45,\quad \sin\beta=-\frac8{17},\quad \cos\beta=-\frac{15}{17}. \]

Находим \(\sin2\alpha\)

\[ \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\left(-\frac45\right)\cdot\frac35 =-\frac{24}{25}. \]

Находим \(\cos2\beta\)

\[ \cos2\beta =\cos^2\beta-\sin^2\beta \]

\[ =\left(-\frac{15}{17}\right)^2 -\left(-\frac8{17}\right)^2 \]

\[ =\frac{225}{289}-\frac{64}{289} =\frac{161}{289}. \]

Находим \(\sin(\alpha-\beta)\)

\[ \sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \]

\[ =\left(-\frac45\right)\left(-\frac{15}{17}\right) -\frac35\left(-\frac8{17}\right) \]

\[ =\frac{60}{85}+\frac{24}{85} =\frac{84}{85}. \]

Находим \(\cos(\alpha+\beta)\)

\[ \cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \]

\[ =\frac35\left(-\frac{15}{17}\right) -\left(-\frac45\right)\left(-\frac8{17}\right) \]

\[ =-\frac{45}{85}-\frac{32}{85} =-\frac{77}{85}. \]

Ответ для б)

\[ \boxed{ \sin2\alpha=-\frac{24}{25},\quad \cos2\beta=\frac{161}{289},\quad \sin(\alpha-\beta)=\frac{84}{85},\quad \cos(\alpha+\beta)=-\frac{77}{85} } \]

В пункте а уточни, пожалуйста: справа от \(\alpha\) действительно стоит \(\pi\), а не \(\frac{\pi}{2}\)? От этого зависит, какой из двух вариантов выбрать.

№ 11. Упростим выражения

Запомни основные формулы:

\[ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]

---

а)

\[ \frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)} {\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta} \]

Раскроем формулы разности.

Числитель:

\[ \begin{aligned} 2\sin\alpha\cos\beta -\sin(\alpha-\beta) &=2\sin\alpha\cos\beta\\ &\quad-(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ &=\sin(\alpha+\beta). \end{aligned} \]

Знаменатель:

\[ \begin{aligned} \cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta &=(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ &\quad-2\sin\alpha\sin\beta\\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ &=\cos(\alpha+\beta). \end{aligned} \]

Получаем:

\[ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =\tg(\alpha+\beta). \]

\[ \boxed{\tg(\alpha+\beta)} \]

---

б)

\[ \frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha} \]

Используем:

\[ \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1, \qquad \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. \]

Числитель:

\[ \begin{aligned} 1-\cos\alpha+\cos2\alpha &=1-\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1\\ &=2\cos^2\alpha-\cos\alpha\\ &=\cos\alpha(2\cos\alpha-1). \end{aligned} \]

Знаменатель:

\[ \begin{aligned} \sin2\alpha-\sin\alpha &=2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\\ &=\sin\alpha(2\cos\alpha-1). \end{aligned} \]

Теперь сокращаем общий множитель:

\[ \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha-1)} {\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\ctg\alpha. \]

\[ \boxed{\ctg\alpha} \]

---

в)

\[ \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(\frac\pi4+\alpha\right)} {2\sin\left(\frac\pi4+\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha} \]

Знаем:

\[ \sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Раскроем скобки.

\[ \begin{aligned} 2\cos\left(\frac\pi4+\alpha\right) &=2\left(\cos\frac\pi4\cos\alpha -\sin\frac\pi4\sin\alpha\right)\\ &=\sqrt2\cos\alpha-\sqrt2\sin\alpha. \end{aligned} \]

Тогда числитель:

\[ \sqrt2\cos\alpha- (\sqrt2\cos\alpha-\sqrt2\sin\alpha) =\sqrt2\sin\alpha. \]

Теперь знаменатель:

\[ \begin{aligned} 2\sin\left(\frac\pi4+\alpha\right) &=2\left(\sin\frac\pi4\cos\alpha+ \cos\frac\pi4\sin\alpha\right)\\ &=\sqrt2\cos\alpha+\sqrt2\sin\alpha. \end{aligned} \]

Значит,

\[ \sqrt2\cos\alpha+\sqrt2\sin\alpha -\sqrt2\sin\alpha =\sqrt2\cos\alpha. \]

Получаем:

\[ \frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tg\alpha. \]

\[ \boxed{\tg\alpha} \]

---

г)

\[ \ctg^2\alpha(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha \]

Используем:

\[ 1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha, \qquad \ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}. \]

Подставим:

\[ \begin{aligned} \ctg^2\alpha(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha &=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\\ &=3\cos^2\alpha. \end{aligned} \]

\[ \boxed{3\cos^2\alpha} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}\;&\tg(\alpha+\beta),\\ \text{б)}\;&\ctg\alpha,\\ \text{в)}\;&\tg\alpha,\\ \text{г)}\;&3\cos^2\alpha. \end{aligned} } \]

Как решать самой: сначала раскрывай сложные \(\sin(\alpha\pm\beta)\), \(\cos(\alpha\pm\beta)\), затем собирай одинаковые слагаемые и ищи формулы \(\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}\), \(\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}\).

Понимаю — я снова объяснила слишком сложно. Давай разберём только один пункт, медленно и по одной строке. Напиши букву: а, б, в или г?

Пункт а)

Нужно упростить:

\[ \frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)} {\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}. \]

Используем две формулы:

\[ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta, \]

\[ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]

1. Упростим числитель

Подставляем формулу вместо \(\sin(\alpha-\beta)\):

\[ 2\sin\alpha\cos\beta -\bigl(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\bigr). \]

Минус перед скобками меняет знаки внутри:

\[ =2\sin\alpha\cos\beta -\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta. \]

Теперь:

\[ 2\sin\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta =\sin\alpha\cos\beta. \]

Получаем:

\[ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \]

Это формула синуса суммы:

\[ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta). \]

Значит, числитель равен:

\[ \sin(\alpha+\beta). \]

2. Упростим знаменатель

Подставляем формулу вместо \(\cos(\alpha-\beta)\):

\[ \bigl(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\bigr) -2\sin\alpha\sin\beta. \]

Собираем похожие слагаемые:

\[ \sin\alpha\sin\beta-2\sin\alpha\sin\beta =-\sin\alpha\sin\beta. \]

Поэтому:

\[ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \]

Это формула косинуса суммы:

\[ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta =\cos(\alpha+\beta). \]

Значит, знаменатель равен:

\[ \cos(\alpha+\beta). \]

3. Делим

Теперь вся дробь стала такой:

\[ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}. \]

А по определению:

\[ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\tg(\alpha+\beta)}. \]

Главный способ: раскрыть формулы, убрать скобки, собрать похожие слагаемые и снова узнать формулу синуса или косинуса.

Давай не будем раскрывать всё подряд. Заменим повторяющиеся части буквами.

Пусть

\[ x=\sin\alpha\cos\beta,\qquad y=\cos\alpha\sin\beta, \]

\[ p=\cos\alpha\cos\beta,\qquad q=\sin\alpha\sin\beta. \]

Тогда выражение выглядит так:

\[ \frac{2x-(x-y)}{(p+q)-2q}. \]

Числитель

\[ 2x-(x-y)=2x-x+y=x+y. \]

Возвращаем буквы:

\[ x+y=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \]

Это готовая формула:

\[ \sin(\alpha+\beta). \]

Знаменатель

\[ (p+q)-2q=p+q-2q=p-q. \]

Возвращаем буквы:

\[ p-q=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \]

Это готовая формула:

\[ \cos(\alpha+\beta). \]

Значит, вся дробь превращается в:

\[ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}. \]

А это по определению:

\[ \tg(\alpha+\beta). \]

\[ \boxed{\tg(\alpha+\beta)} \]

Главная идея: выражение специально составлено так, чтобы после упрощения сверху получился \(\sin(\alpha+\beta)\), а снизу — \(\cos(\alpha+\beta)\).

Ничего страшного — значит, я объясняю не тем способом. Давай остановимся на одном месте: что непонятнее всего?

1. формула \(\sin(\alpha-\beta)\);
2. почему минус перед скобками меняет знаки;
3. почему \(\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tg x\)?