С-9

Пришли, пожалуйста, фото C‑9 ещё раз или перепиши задания 1–4: в текущем сообщении условия не видны. Я решу все.

С-9. Умножение дробей

1. Выполните умножение

1)

а)
\[ \frac{3a}{b}\cdot\frac{b}{a}=3. \]

б)
\[ -\frac{2x}{3y}\cdot\frac{y}{6x} =-\frac{2}{18}=-\frac19. \]

в)
\[ \frac{a^2b}{12c}\cdot\frac{4c}{ab^2} =\frac{a}{3b}. \]

г)
\[ \frac{18m^3}{5n^2}\cdot\frac{25n}{12m^2} =\frac{15m}{2n}. \]

д)
\[ 6x\cdot\frac{a}{3x^2}=\frac{2a}{x}. \]

е)
\[ \frac{7y^3}{z^2}\cdot z^3=7y^3z. \]

Ответ:
\[ 3;\quad -\frac19;\quad \frac{a}{3b};\quad \frac{15m}{2n};\quad \frac{2a}{x};\quad 7y^3z. \]

---

2)

а)
\[ \frac{3}{x^2-2x}\cdot\frac{2x-4}{x} = \frac{3}{x(x-2)}\cdot\frac{2(x-2)}x =\frac{6}{x^2}. \]

б)
\[ \frac{a-2b}{12c}\cdot\frac{18c^2}{a-2b} =\frac{3c}{2}. \]

в)
\[ \frac{x^2-16}{8x^3}\cdot\frac{4x}{x+4} = \frac{(x-4)(x+4)}{8x^3}\cdot\frac{4x}{x+4} =\frac{x-4}{2x^2}. \]

г)
\[ \frac{5-y}{2y}\cdot\frac{3y^2}{y^2-25} = \frac{-(y-5)}{2y}\cdot \frac{3y^2}{(y-5)(y+5)} =-\frac{3y}{2(y+5)}. \]

д)
\[ \frac{c^2+4c+4}{2c-6}\cdot\frac{c^2-9}{5c+10} = \frac{(c+2)^2}{2(c-3)} \cdot \frac{(c-3)(c+3)}{5(c+2)} = \frac{(c+2)(c+3)}{10}. \]

е)
\[ (3a-6b)\cdot\frac{a+2}{a^2-4b^2} = 3(a-2b)\cdot\frac{a+2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{3(a+2)}{a+2b}. \]

Ответ:
\[ \frac6{x^2};\quad \frac{3c}{2};\quad \frac{x-4}{2x^2};\quad -\frac{3y}{2(y+5)};\quad \frac{(c+2)(c+3)}{10};\quad \frac{3(a+2)}{a+2b}. \]

---

3)

а)
\[ \frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}\cdot \frac{x^3+27}{3x-9} = \frac{(x-3)^2}{x^2-3x+9}\cdot \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{3(x-3)} = \frac{(x-3)(x+3)}3 = \frac{x^2-9}{3}. \]

б)
\[ \frac{1}{5a^2+10ab+20b^2}\cdot(a^3-8b^3) \] \[ = \frac{(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)} {5(a^2+2ab+4b^2)} =\frac{a-2b}{5}. \]

в)
\[ \frac{x^2-ax+bx-ab}{x^2+ax-bx-ab} \cdot \frac{x^2+2ax+a^2}{x^2-2bx+b^2} \] \[ = \frac{(x-a)(x+b)}{(x+a)(x-b)} \cdot \frac{(x+a)^2}{(x-b)^2} = \frac{(x-a)(x+a)(x+b)}{(x-b)^3}. \]

---

2. Представьте в виде дроби

1)

а)
\[ \left(\frac{x}{y^2}\right)^2=\frac{x^2}{y^4}. \]

б)
\[ \left(-\frac{2a^2}{c^2}\right)^3 =-\frac{8a^6}{c^6}. \]

в)
\[ \left(\frac{c^2}{b}\right)^3 \cdot\left(\frac{b^2}{c^4}\right)^2 = \frac{c^6}{b^3}\cdot\frac{b^4}{c^8} =\frac{b}{c^2}. \]

2)

а)
\[ \left(-\frac{16x^2}{27y^3}\right)^2 \cdot \left(\frac{9y^2}{8x^2}\right)^3 = \frac{256x^4}{729y^6}\cdot \frac{729y^6}{512x^6} =\frac1{2x^2}. \]

б)
\[ \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^3 \cdot \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-2ab+b^2} \] \[ = \frac{(a-b)^3}{(a+b)^3} \cdot \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{a-b}{a+b}. \]

---

3. Упростите выражение

а)
\[ \frac{45xy}{7z^2}\cdot \frac{14xz^3}{81y^2}\cdot \frac{27y^3}{5xz} =6xy^2. \]

б)
\[ \frac{74a^3b}{c^4}\cdot \frac{b^3}{111a^5}\cdot 3ac^3 = \frac{74\cdot3}{111}\cdot \frac{a^4b^4c^3}{a^5c^4} = \frac{2b^4}{ac}. \]

---

4. Докажите тождество

\[ \frac{8-0{,}5y^4}{4+0{,}5y^3}\cdot \frac{0{,}5y^2-y+2}{0{,}5y^2+2}\cdot \frac1{2-y}=1. \]

Разложим множители:

\[ 8-0{,}5y^4=0{,}5(16-y^4) =0{,}5(2-y)(2+y)(y^2+4), \]

\[ 4+0{,}5y^3=0{,}5(y^3+8) =0{,}5(y+2)(y^2-2y+4). \]

Поэтому

\[ \frac{8-0{,}5y^4}{4+0{,}5y^3} = \frac{(2-y)(y^2+4)}{y^2-2y+4}. \]

Кроме того,

\[ \frac{0{,}5y^2-y+2}{0{,}5y^2+2} = \frac{y^2-2y+4}{y^2+4}. \]

Тогда

\[ \frac{(2-y)(y^2+4)}{y^2-2y+4} \cdot \frac{y^2-2y+4}{y^2+4} \cdot \frac1{2-y} =1. \]

Тождество доказано.