Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(p=0{,}3\), \(\mathsf E(X)=0{,}2\), \(D(X)=6{,}76\), \(\sigma_X=2{,}6\).
2. \(\mathsf P(X=5)\approx0{,}0584\), \(\mathsf E(X)=2{,}5\).
3. \(\mathsf E(X)=\dfrac53\approx1{,}67\), \(D(X)=\dfrac{10}{9}\approx1{,}11\), \(\sigma_X=\dfrac{\sqrt{10}}3\approx1{,}05\).

Решение

1. Ряд распределения

Сумма всех вероятностей равна \(1\):

\[ 0{,}2+0{,}1+0{,}2+p+0{,}2=1, \]

\[ p=0{,}3. \]

Математическое ожидание:

\[ \mathsf E(X)=\sum x_i p_i \]

\[ \mathsf E(X)=(-4)\cdot0{,}2+(-1)\cdot0{,}1+ 0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}3+4\cdot0{,}2=0{,}2. \]

Сначала найдём \(\mathsf E(X^2)\):

\[ \mathsf E(X^2)=16\cdot0{,}2+1\cdot0{,}1+ 0+1\cdot0{,}3+16\cdot0{,}2=6{,}8. \]

Дисперсия:

\[ D(X)=\mathsf E(X^2)-\bigl(\mathsf E(X)\bigr)^2 =6{,}8-0{,}2^2=6{,}76. \]

Среднее квадратическое отклонение:

\[ \sigma_X=\sqrt{D(X)}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6. \]

Проверка: \(0{,}2+0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}2=1\).

2. Две монеты бросают 10 раз

Успехом считаем выпадение двух решек. Вероятность успеха за одно испытание:

\[ q=\frac12\cdot\frac12=\frac14. \]

Поэтому

\[ X\sim \operatorname{Bin}\left(10;\frac14\right). \]

Вероятность \(X=5\):

\[ \mathsf P(X=5)= \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5 \left(\frac34\right)^5. \]

\[ \mathsf P(X=5) =252\cdot\frac{1}{4^5}\cdot\frac{3^5}{4^5} =\frac{15309}{262144}\approx0{,}0584. \]

Математическое ожидание биномиальной случайной величины:

\[ \mathsf E(X)=nq=10\cdot\frac14=2{,}5. \]

3. Число выстрелов до первого попадания

Считаем все выстрелы, включая удачный. Это геометрическое распределение с

\[ q=0{,}6,\qquad 1-q=0{,}4. \]

Для геометрического распределения:

\[ \mathsf E(X)=\frac1q, \qquad D(X)=\frac{1-q}{q^2}. \]

Тогда

\[ \mathsf E(X)=\frac1{0{,}6}=\frac53\approx1{,}67, \]

\[ D(X)=\frac{0{,}4}{0{,}6^2} =\frac{0{,}4}{0{,}36} =\frac{10}{9}\approx1{,}11, \]

\[ \sigma_X=\sqrt{D(X)} =\sqrt{\frac{10}{9}} =\frac{\sqrt{10}}3\approx1{,}05. \]

Объясни подробнее геометрическое распределение