Как решить
Краткий ответ
Для каждой функции исследуем область определения, значения, чётность, возрастание и убывание, нули и экстремумы.
| Функция | Область определения | Область значений | Чётность | Возрастает | Убывает | Нули |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-x^2\) | \(\mathbb R\) | \((-\infty;0]\) | чётная | \((-\infty;0)\) | \((0;+\infty)\) | \(x=0\) |
| \(y=x^{-3}=\dfrac1{x^3}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | нечётная | нет | \((-\infty;0)\), \((0;+\infty)\) | нет |
| \(y=-\dfrac1x\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | нечётная | \((-\infty;0)\), \((0;+\infty)\) | нет | нет |
| \(y=\dfrac1{x^2}\) | \(\mathbb R\setminus\{0\}\) | \((0;+\infty)\) | чётная | \((-\infty;0)\) | \((0;+\infty)\) | нет |
1. Функция \(y=-x^2\)
Область определения: \(x\) может быть любым числом: \[ D(y)=\mathbb R. \]
Область значений: так как \(x^2\geq 0\), то \[ -x^2\leq 0. \] Поэтому: \[ E(y)=(-\infty;0]. \]
Чётность: \[ f(-x)=-(-x)^2=-x^2=f(x). \] Функция чётная.
Возрастание и убывание:
График — парабола с вершиной в точке \((0;0)\). Она возрастает на \((-\infty;0)\) и убывает на \((0;+\infty)\).Нуль функции: \[ -x^2=0 \Rightarrow x=0. \]
Наибольшее значение: \[ y_{\max}=0 \] при \(x=0\). Наименьшего значения нет, так как функция не ограничена снизу.
Точки для построения:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-4&-1&0&-1&-4 \end{array} \]
Получится парабола, направленная ветвями вниз.
2. Функция \(y=x^{-3}=\dfrac1{x^3}\)
Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x\neq 0. \] Поэтому: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Область значений: \[ E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \] Значение \(y=0\) функция не принимает.
Чётность: \[ f(-x)=\frac1{(-x)^3}=-\frac1{x^3}=-f(x). \] Функция нечётная.
Монотонность: функция убывает на каждом промежутке: \[ (-\infty;0),\qquad (0;+\infty). \]
Нулей нет, потому что дробь с числителем \(1\) не может быть равна нулю.
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Асимптоты: \[ x=0,\qquad y=0. \]
Точки для построения:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline y&-\frac18&-1&1&\frac18 \end{array} \]
Ветви расположены в I и III координатных четвертях.
3. Функция \(y=-\dfrac1x\)
Область определения: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Область значений: \[ E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Чётность: \[ f(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x=-f(x). \] Функция нечётная.
Монотонность: функция возрастает на промежутках \[ (-\infty;0),\qquad (0;+\infty). \]
Нулей нет, так как числитель дроби равен \(-1\).
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Асимптоты: \[ x=0,\qquad y=0. \]
Точки для построения:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline y&\frac12&1&-1&-\frac12 \end{array} \]
Ветви расположены во II и IV координатных четвертях.
4. Функция \(y=\dfrac1{x^2}\)
Область определения: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Область значений: квадрат всегда положительный: \[ \frac1{x^2}>0. \] Поэтому: \[ E(y)=(0;+\infty). \]
Чётность: \[ f(-x)=\frac1{(-x)^2}=\frac1{x^2}=f(x). \] Функция чётная.
Монотонность: возрастает на \[ (-\infty;0), \] и убывает на \[ (0;+\infty). \]
Нулей нет, поскольку \(\dfrac1{x^2}\neq 0\).
Наибольшего и наименьшего значений нет.
Значения приближаются к нулю, но \(0\) никогда не достигается.Асимптоты: \[ x=0,\qquad y=0. \]
Точки для построения:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline y&\frac14&1&1&\frac14 \end{array} \]
Ветви расположены в I и II координатных четвертях.
Как проверять себя
- если в знаменателе есть \(x\), то \(x=0\) исключается;
- если \(f(-x)=f(x)\), функция чётная;
- если \(f(-x)=-f(x)\), функция нечётная;
- для дробно-степенных функций \(x=0\) и \(y=0\) часто являются асимптотами;
- график строят по нескольким точкам, не забывая про симметрию и асимптоты.
