Теманы түшүндүр мисал иштешим керек мага түшүнүктү кыл
Кыска жооп: сүрөттөрдөгү негизги тема — бирдик айлана жана тригонометриялык функциялар.
Бирдик айланадагы \(P_\alpha\) чекитинин координаталары:
\[ P_\alpha(\cos\alpha;\sin\alpha). \]
Демек,
\[ x=\cos\alpha,\qquad y=\sin\alpha, \]
ал эми
\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
1. Бирдик айлана кандай колдонулат?
Бирдик айлананын борбору \(O(0;0)\), радиусу \(1\).
Бурчту оң \(Ox\) огунан баштап өлчөйбүз:
- саат жебесине каршы багыт — оң бурч;
- саат жебеси боюнча багыт — терс бурч.
Бурч \(\alpha\) бүткөн жерде \(P_\alpha\) чекити пайда болот. Анын:
- абсциссасы \(x=\cos\alpha\);
- ординатасы \(y=\sin\alpha\).
Негизги маанилер
\[ \begin{array}{c|ccccc} \alpha & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2}\\ \hline \cos\alpha & 1 & \frac{\sqrt3}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \frac12 & 0\\ \sin\alpha & 0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt3}{2} & 1 \end{array} \]
2. Бурч кайсы чейректе экенин аныктоо
| Чейрек | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) |
|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) |
| II | \(-\) | \(+\) |
| III | \(-\) | \(-\) |
| IV | \(+\) | \(-\) |
Мисал: \(\alpha=\frac{5\pi}{4}\)
1-кадам. Бурчту бөлөбүз
\[ \frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}. \]
Бул бурч III чейректе жатат.
2-кадам. Негизги бурчту алабыз
Негизги бурч:
\[ \frac{\pi}{4}. \]
\[ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
III чейректе экөө тең терс болгондуктан:
\[ \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Ошондуктан
\[ P_{\frac{5\pi}{4}} \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
3-кадам. Тангенс жана котангенс
\[ \tg\frac{5\pi}{4} = \frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}} =1. \]
\[ \ctg\frac{5\pi}{4} = \frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}} =1. \]
Текшерүү
Бирдик айлана үчүн дайыма:
\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]
Бул жерде:
\[ \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+ \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac12+\frac12=1. \]
Демек, жооп туура.
3. №28–30 тапшырмаларды кантип чыгарабыз?
№28
\(P_\alpha\) чекитин гана айланага белгилөө керек.
Мисалы:
\[ \alpha=\frac{\pi}{6} \]
болсо, чекит I чейректе жайгашат:
\[ P_{\frac{\pi}{6}} \left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right). \]
№29
Координаталарды табуу үчүн түз эле формуланы колдонобуз:
\[ P_\alpha=(\cos\alpha;\sin\alpha). \]
Мисалы:
\[ \alpha=-\frac{\pi}{6}. \]
Терс бурч IV чейректе жатат, ошондуктан:
\[ P_{-\frac{\pi}{6}} \left(\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right). \]
№30
Бурч кайсы чейректе экенин табабыз:
\[ 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \quad\text{— I чейрек;} \]
\[ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi \quad\text{— II чейрек;} \]
\[ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2} \quad\text{— III чейрек;} \]
\[ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi \quad\text{— IV чейрек.} \]
Мисалы, \(\alpha=-2{,}7\):
\[ -2{,}7+2\pi\approx3{,}58. \]
Ал эми
\[ \pi\approx3{,}14,\qquad \frac{3\pi}{2}\approx4{,}71. \]
Демек,
\[ \pi<3{,}58<\frac{3\pi}{2}, \]
ошондуктан \(-2{,}7\) бурчу III чейректе.
4. Графиктердин негизги касиеттери
\[ D(\sin)=D(\cos)=\mathbb R,\qquad E(\sin)=E(\cos)=[-1;1]. \]
Синус жана косинус \(2\pi\) сайын кайталанат:
\[ \sin(x+2\pi n)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi n)=\cos x. \]
Тангенс:
\[ \tg(x+\pi n)=\tg x. \]
Анын периоду \(\pi\), ал эми
\[ \cos x=0 \]
болгондо аныкталбайт:
\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi n. \]
Котангенс да \(\pi\) сайын кайталанат жана
\[ \sin x=0 \]
болгондо аныкталбайт:
\[ x=\pi n. \]
Эң негизги эреже:
\[ \boxed{P_\alpha=(\cos\alpha;\sin\alpha)} \]
Ушул формула менен №28–29дагы чекиттердин координаталарын табасың, ал эми №30да бурчтун чейрегин аныктайсың.
Обсуждение
14 сообщений28 түшүндүр чү
№28дин шартын же сүрөтүн кайра жиберчи — азыр тапшырмадагы бурчтар көрүнбөй турат. Ошондо ар бир чекитти айланага кантип белгилөөнү кадам-кадам түшүндүрөм.
Бул мурунку №28 тапшырманын уландысы. Бирдик айланада чекитти белгилөө үчүн формула колдонобуз:
\[ P_\alpha=(\cos\alpha;\sin\alpha). \]
Бурч \(+\) болсо — саат жебесине каршы, ал эми \(-\) болсо — саат жебеси боюнча өлчөнөт.
а)
\[ \alpha=\frac{\pi}{6} \]
\[ P_{\frac{\pi}{6}} \left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right) \]
I чейректе.
\[ \alpha=\frac{\pi}{2} \]
\[ P_{\frac{\pi}{2}}(0;1) \]
Жогорку чекитте.
\[ \alpha=\frac{3\pi}{4} \]
\[ P_{\frac{3\pi}{4}} \left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right) \]
II чейректе.
б)
\[ \alpha=\frac{\pi}{4} \]
\[ P_{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right) \]
I чейректе.
\[ \alpha=\pi \]
\[ P_\pi(-1;0) \]
Сол жактагы чекитте.
\[ \alpha=-\frac{\pi}{2} \]
\[ P_{-\frac{\pi}{2}}(0;-1) \]
Төмөнкү чекитте.
в)
\[ \alpha=\frac{\pi}{3} \]
\[ P_{\frac{\pi}{3}} \left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
I чейректе.
\[ \alpha=\frac{3\pi}{2} \]
\[ P_{\frac{3\pi}{2}}(0;-1) \]
Төмөнкү чекитте.
\[ \alpha=-\frac{\pi}{4} \]
\[ P_{-\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right) \]
IV чейректе.
г)
\[ \alpha=-\frac{\pi}{6} \]
\[ P_{-\frac{\pi}{6}} \left(\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right) \]
IV чейректе.
\[ \alpha=2\pi \]
\[ P_{2\pi}(1;0) \]
Оң жактагы чекитте. Себеби \(2\pi\) — толук бир айлануу.
\[ \alpha=\frac{5\pi}{4} \]
\[ P_{\frac{5\pi}{4}} \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right) \]
III чейректе.
Эсиңде болсун:
\[ \boxed{P_\alpha=(\cos\alpha;\sin\alpha)} \]
Мисалы, \(\alpha=-\frac{\pi}{4}\) болсо:
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Ошондуктан чекит IV чейрекке коюлат.
Булар неге бундай болот
Анткени бул чекиттер бирдик айланадагы координаталар. Бирдик айлананын радиусу \(1\), ошондуктан бурч \(\alpha\) үчүн:
\[ \boxed{P_\alpha=(\cos\alpha;\sin\alpha)} \]
Бул жерде:
- \(x=\cos\alpha\) — оңго-солго координата;
- \(y=\sin\alpha\) — өйдө-төмөн координата.
1. Негизги бурчтар кайдан чыгат?
\[ \frac{\pi}{6}=30^\circ,\qquad \frac{\pi}{4}=45^\circ,\qquad \frac{\pi}{3}=60^\circ. \]
Бирдик айланада бул бурчтар үчүн:
\[ \begin{array}{c|c} \alpha & (\cos\alpha;\sin\alpha)\\ \hline \frac{\pi}{6} & \left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right)\\[4pt] \frac{\pi}{4} & \left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\\[4pt] \frac{\pi}{3} & \left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) \end{array} \]
Мисалы, \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) — \(45^\circ\). Бул учурда тик бурчтуу үч бурчтуктун эки катети тең болот. Гипотенуза \(1\), ошондуктан эки катет:
\[ \sqrt{x^2+x^2}=1 \]
\[ 2x^2=1,\qquad x=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Ошондуктан:
\[ P_{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
2. Эмне үчүн айрым сандар «минус» болот?
Чекит кайсы чейректе турганына жараша белгилер өзгөрөт:
| Чейрек | \(x=\cos\alpha\) | \(y=\sin\alpha\) |
|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) |
| II | \(-\) | \(+\) |
| III | \(-\) | \(-\) |
| IV | \(+\) | \(-\) |
Мисалы:
\(\frac{3\pi}{4}\)
\[ \frac{3\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}. \]
Бул II чейрек. II чейректе \(x\) терс, \(y\) оң:
\[ P_{\frac{3\pi}{4}} \left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
\(-\frac{\pi}{4}\)
Терс бурч саат жебеси боюнча өлчөнөт, демек чекит IV чейрекке түшөт:
\[ P_{-\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
\(x\) оң, \(y\) терс болуп калды.
\(\frac{5\pi}{4}\)
\[ \frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}. \]
Бул III чейрек. III чейректе эки координата тең терс:
\[ P_{\frac{5\pi}{4}} \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
3. Окто турган чекиттер
Буларды айланадан түз көрөбүз:
\[ P_0=(1;0) \]
\[ P_{\frac{\pi}{2}}=(0;1) \]
\[ P_\pi=(-1;0) \]
\[ P_{\frac{3\pi}{2}}=(0;-1) \]
\[ P_{2\pi}=(1;0). \]
\(2\pi\) — толук бир айлануу, ошондуктан чекит кайра баштапкы ордуна келет.
Эсептөө тартиби
Ар дайым мындай кыл:
- Бурч кайсы чейректе экенин тап.
- Негизги бурчун аныкта: \(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\) же \(\frac{\pi}{3}\).
- Таблицадан сандарды ал.
- Чейрөкө жараша \(+\) же \(-\) белгисин кой.
Мисалы:
\[ -\frac{\pi}{6} \]
IV чейрек, негизги бурчу \(\frac{\pi}{6}\). Демек:
\[ \boxed{ P_{-\frac{\pi}{6}} \left(\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right) } \]
31 түшүндүр
№31дин шартын же сүрөтүн кайра жиберчи — азыр тапшырманын тексти көрүнбөй жатат. Ошондо аны кадам-кадам түшүндүрөм.
Бул мурунку теманын уландысы, бирок сүрөттө №31 эмес, №30 тапшырма көрүнүп турат: №30ду түшүндүрөйүнбү же №31дин сүрөтүн жибересиңби?
Бул — мурунку теманын уландысы, №31. Бул жерде ар бир тригонометриялык сандын оң же терс белгисин табабыз.
Эреже
Бурчтун чейреги:
\[ \begin{array}{c|ccc} \text{Чейрек} & \sin & \cos & \tg,\ \ctg\\ \hline I & + & + & +\\ II & + & - & -\\ III & - & - & +\\ IV & - & + & - \end{array} \]
\(\pi\) жазылбаган \(1,3,5,8\) сыяктуу сандар радиан менен берилген.
а)
1) \(\sin\frac{3\pi}{7}\)
\[ 0<\frac{3\pi}{7}<\frac{\pi}{2} \]
I чейрек, демек:
\[ \sin\frac{3\pi}{7}>0. \]
2) \(\cos\frac{9\pi}{8}\)
\[ \frac{9\pi}{8}=\pi+\frac{\pi}{8} \]
III чейрек, ошондуктан:
\[ \cos\frac{9\pi}{8}<0. \]
3) \(\tg 2{,}3\pi\)
\[ 2{,}3\pi=2\pi+0{,}3\pi \]
\(0{,}3\pi\) I чейректе жатат:
\[ \tg 2{,}3\pi>0. \]
Жооп:
\[ \boxed{+,\;-,\;+} \]
б)
1) \(\sin 1\)
\[ 0<1<\frac{\pi}{2} \]
I чейрек:
\[ \sin1>0. \]
2) \(\cos3\)
\[ \frac{\pi}{2}<3<\pi \]
II чейрек:
\[ \cos3<0. \]
3) \(\ctg5\)
\[ \frac{3\pi}{2}<5<2\pi \]
IV чейрек. IV чейректе котангенс терс:
\[ \ctg5<0. \]
Жооп:
\[ \boxed{+,\;-,\;-} \]
в)
1) \(\sin1{,}3\pi\)
\[ \pi<1{,}3\pi<\frac{3\pi}{2} \]
III чейрек:
\[ \sin1{,}3\pi<0. \]
2) \(\cos\frac{7\pi}{9}\)
\[ \frac{\pi}{2}<\frac{7\pi}{9}<\pi \]
II чейрек:
\[ \cos\frac{7\pi}{9}<0. \]
3) \(\tg2{,}9\)
\[ \frac{\pi}{2}<2{,}9<\pi \]
II чейрек:
\[ \tg2{,}9<0. \]
Жооп:
\[ \boxed{-,\;-,\;-} \]
г)
1) \(\sin8\)
\(2\pi\) ни алып салабыз:
\[ 8-2\pi\approx1{,}72. \]
\[ \frac{\pi}{2}<1{,}72<\pi \]
II чейрек, демек:
\[ \sin8>0. \]
2) \(\cos0{,}7\)
\[ 0<0{,}7<\frac{\pi}{2} \]
I чейрек:
\[ \cos0{,}7>0. \]
3) \(\tg6{,}4\)
\[ 6{,}4-2\pi\approx0{,}12. \]
Бул I чейрек:
\[ \tg6{,}4>0. \]
Жооп:
\[ \boxed{+,\;+,\;+} \]
Жалпы жооп
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}&\quad +,\;-,\;+;\\ \text{б)}&\quad +,\;-,\;-;\\ \text{в)}&\quad -,\;-,\;-;\\ \text{г)}&\quad +,\;+,\;+. \end{aligned}} \]
0 жн пи 2 каяктан келди
\(0\) жана \(\frac{\pi}{2}\) — бурчтун чейрегин аныктоо үчүн алынган негизги чек аралар.
Алар кайдан чыгат?
Толук айлана:
\[ 2\pi=360^\circ. \]
Айлана 4 чейрекке бөлүнөт:
\[ \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}=90^\circ. \]
Ошондуктан негизги чек аралар:
\[ 0,\quad \frac{\pi}{2},\quad \pi,\quad \frac{3\pi}{2},\quad 2\pi. \]
| Аралык | Чейрек |
|---|---|
| \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) | I |
| \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) | II |
| \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\) | III |
| \(\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\) | IV |
\(0\) — бурч өлчөнө баштаган жер, ал эми \(\frac{\pi}{2}\) — \(90^\circ\), башкача айтканда биринчи чейректин аягы.
Мисал
\[ \sin\frac{3\pi}{7} \]
үчүн:
\[ 0<\frac{3\pi}{7}<\frac{\pi}{2}. \]
Себеби:
\[ 0<\frac37<\frac12. \]
Демек, \(\frac{3\pi}{7}\) I чейректе жатат. I чейректе синус оң болот:
\[ \sin\frac{3\pi}{7}>0. \]
Дагы бир мисал:
\[ \sin1. \]
\[ \frac{\pi}{2}\approx1{,}57, \]
ошондуктан:
\[ 0<1<1{,}57=\frac{\pi}{2}. \]
Демек, \(1\) да I чейректе, ошондуктан:
\[ \sin1>0. \]
