Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) \[ x=2\pi n\pm\frac{\pi}{6},\qquad n\in\mathbb Z. \]
б) На отрезке \(\left[-\frac{13\pi}{2};-5\pi\right]\) корни:
\[ \boxed{x=-\frac{37\pi}{6},\quad x=-\frac{35\pi}{6}}. \]
Решение
Дано уравнение:
\[ \frac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}}{\sqrt7\sin x}=0. \]
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ \sin x\ne0, \]
\[ 4^{\sin 2x}=2^{2\sqrt3\sin x}. \]
Так как \(4=2^2\), получаем:
\[ 2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt3\sin x}. \]
Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели:
\[ 2\sin 2x=2\sqrt3\sin x, \]
\[ \sin 2x=\sqrt3\sin x. \]
Используем формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):
\[ 2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x. \]
Поскольку по ОДЗ \(\sin x\ne0\), делим на \(\sin x\):
\[ 2\cos x=\sqrt3, \]
\[ \cos x=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Следовательно,
\[ x=2\pi n\pm\frac{\pi}{6},\qquad n\in\mathbb Z. \]
В найденных точках \(\sin x=\pm\frac12\ne0\), поэтому знаменатель действительно не равен нулю.
Отбор корней на отрезке
Для \(x=2\pi n+\frac{\pi}{6}\) подходит \(n=-3\):
\[ x=-6\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{35\pi}{6}. \]
Для \(x=2\pi n-\frac{\pi}{6}\) также подходит \(n=-3\):
\[ x=-6\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{37\pi}{6}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left\{-\frac{37\pi}{6};-\frac{35\pi}{6}\right\}}. \]
Обсуждение
2 сообщенияРазберём, как быстро отбирать корни на отрезке
Быстрее всего отбирать корни, разделив всё на \(\pi\) и проверив две серии отдельно.
Общий ответ:
\[ x=2\pi n+\frac{\pi}{6} \quad\text{или}\quad x=2\pi n-\frac{\pi}{6},\qquad n\in\mathbb Z. \]
Нужно, чтобы
\[ -\frac{13\pi}{2}\le x\le -5\pi. \]
1. Корни \(x=2\pi n+\frac{\pi}{6}\)
Подставляем в отрезок и делим на \(\pi\):
\[ -\frac{13}{2}\le 2n+\frac16\le -5. \]
Отсюда получается:
\[ -\frac{10}{3}\le n\le-\frac{31}{12}. \]
Единственное целое значение:
\[ n=-3. \]
Тогда
\[ x=2\pi(-3)+\frac{\pi}{6} =-6\pi+\frac{\pi}{6} =-\frac{35\pi}{6}. \]
2. Корни \(x=2\pi n-\frac{\pi}{6}\)
\[ -\frac{13}{2}\le 2n-\frac16\le -5. \]
Получаем:
\[ -\frac{19}{6}\le n\le-\frac{29}{12}. \]
Снова подходит только
\[ n=-3. \]
Тогда
\[ x=2\pi(-3)-\frac{\pi}{6} =-6\pi-\frac{\pi}{6} =-\frac{37\pi}{6}. \]
Быстрый приём
Отрезок расположен около числа \(-6\pi\). Поэтому сразу проверяем ближайшие точки:
\[ -6\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{37\pi}{6}, \qquad -6\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{35\pi}{6}. \]
Обе попадают в отрезок:
\[ -\frac{13\pi}{2}\le -\frac{37\pi}{6},-\frac{35\pi}{6} \le -5\pi. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-\frac{37\pi}{6},\ -\frac{35\pi}{6}}. \]
