Реши задание на изображении

Вариант №2

1. \(f'(x)=3x^2-2x=x(3x-2)\).

\[ x=0,\quad x=\frac23. \]

Стационарные точки:

\[ (0;1),\quad \left(\frac23;\frac{23}{27}\right). \]

2. а) \(f'(x)=3x^2-6x+2=0\).

\[ x_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt3}{3}. \]

\[ \max f=4+\frac{2\sqrt3}{9} \quad\text{при }x=1-\frac{\sqrt3}{3}; \]

\[ \min f=4-\frac{2\sqrt3}{9} \quad\text{при }x=1+\frac{\sqrt3}{3}. \]

б)

\[ f'(x)=6e^{2x}(1-e^x)=0\Rightarrow x=0. \]

\[ \max f=f(0)=1. \]

Минимума нет.

3. \(f'(x)=3(x+4)(x-2)\).

Возрастает:

\[ (-\infty;-4)\cup(2;+\infty). \]

Убывает:

\[ (-4;2). \]

4. Проверяем \(x=-2,0,\frac23,1\):

\[ f(-2)=-11,\quad f(0)=1,\quad f\left(\frac23\right)=\frac{23}{27},\quad f(1)=1. \]

\[ \boxed{\min f=-11\text{ при }x=-2;} \qquad \boxed{\max f=1\text{ при }x=0\text{ и }x=1.} \]

5. \(f(x)=x^4-2x^2=x^2(x^2-2)\).

\[ D(f)=\mathbb R,\qquad f(-x)=f(x). \]

Нули:

\[ x=-\sqrt2,\;0,\;\sqrt2. \]

\[ f'(x)=4x(x-1)(x+1). \]

Убывает:

\[ (-\infty;-1)\cup(0;1). \]

Возрастает:

\[ (-1;0)\cup(1;+\infty). \]

Экстремумы:

\[ f(-1)=f(1)=-1\ —\ \text{минимумы}; \qquad f(0)=0\ —\ \text{максимум}. \]

График — симметричная относительно \(Oy\) W-образная кривая через точки:

\[ (-\sqrt2;0),\;(-1;-1),\;(0;0),\;(1;-1),\;(\sqrt2;0). \]