Построить график

Во 2-м пункте на фото читается \(y=x^{-5}=\dfrac1{x^5}\). Ниже исследуем и строим все четыре функции.

Краткий ответ

1. \(y=-x^2\) — парабола с вершиной \((0;0)\), ветви направлены вниз.
2. \(y=x^{-5}=\dfrac1{x^5}\) — две ветви в I и III координатных четвертях.
3. \(y=-\dfrac1x\) — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.
4. \(y=\dfrac1{x^2}\) — две ветви над осью \(Ox\), в I и II четвертях.

1. \(y=-x^2\)

Исследование

• Область определения:
  \[ D(y)=(-\infty;+\infty). \]
• Область значений:
  \[ E(y)=(-\infty;0]. \]
• Функция чётная, так как
  \[ f(-x)=-(-x)^2=-x^2=f(x). \] График симметричен относительно оси \(Oy\).
• Возрастает на \((-\infty;0]\).
• Убывает на \([0;+\infty)\).
• Нуль функции: \(x=0\).
• Наибольшее значение: \(0\) при \(x=0\).
• Наименьшего значения нет.

Точки для построения

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-4&-1&0&-1&-4 \end{array} \]

Это парабола \(y=x^2\), отражённая относительно оси \(Ox\).

2. \(y=x^{-5}=\dfrac1{x^5}\)

Исследование

• При \(x=0\) знаменатель обращается в нуль, поэтому
  \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
• Область значений:
  \[ E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
• Функция нечётная: \[ f(-x)=\frac1{(-x)^5}=-\frac1{x^5}=-f(x). \] График симметричен относительно начала координат.
• Убывает на каждом из промежутков: \[ (-\infty;0),\qquad (0;+\infty). \]
• Нулей функции нет.
• Наибольшего и наименьшего значений нет.
• Асимптоты: \[ x=0,\qquad y=0. \]

Точки для построения

\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-2&-1&-\frac12&\frac12&1&2\\ \hline y&-\frac1{32}&-1&-32&32&1&\frac1{32} \end{array} \]

Ветви располагаются в I и III четвертях.

3. \(y=-\dfrac1x\)

Исследование

• Область определения: \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
• Область значений: \[ E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
• Функция нечётная: \[ f(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x=-f(x). \] График симметричен относительно начала координат.
• Возрастает на промежутках: \[ (-\infty;0),\qquad (0;+\infty). \]
• Нулей функции нет.
• Наибольшего и наименьшего значений нет.
• Асимптоты: \[ x=0,\qquad y=0. \]

Точки для построения

\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-2&-1&-\frac12&\frac12&1&2\\ \hline y&\frac12&1&2&-2&-1&-\frac12 \end{array} \]

Ветви располагаются во II и IV четвертях. Это график \(y=\frac1x\), отражённый относительно оси \(Ox\).

4. \(y=\dfrac1{x^2}\)

Исследование

• Область определения: \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
• Область значений: \[ E(y)=(0;+\infty). \]
• Функция чётная: \[ f(-x)=\frac1{(-x)^2}=\frac1{x^2}=f(x). \] График симметричен относительно оси \(Oy\).
• Возрастает на \((-\infty;0)\).
• Убывает на \((0;+\infty)\).
• Нулей функции нет.
• Наибольшего и наименьшего значений нет: к нулю функция приближается, но не достигает его.
• Асимптоты: \[ x=0,\qquad y=0. \]

Точки для построения

\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-2&-1&-\frac12&\frac12&1&2\\ \hline y&\frac14&1&4&4&1&\frac14 \end{array} \]

Обе ветви находятся выше оси \(Ox\): одна в I четверти, другая во II.

Как проверить построение

Для дробных функций:

• около \(x=0\) график резко уходит вверх или вниз;
• при больших \(|x|\) приближается к оси \(Ox\);
• график не пересекает оси \(Ox\) и \(Oy\), потому что \(x=0\) запрещён, а значение \(y=0\) невозможно.