Момоги решить 3 и 4 задания, также нарисуй к ним подробный график для переписания в тетрадь

По фото функции такие:

\[ 3)\quad f(x)=\left|3\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+2\right| \]

\[ 4)\quad f(x)=\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)-1\right|. \]

Задание 3

Краткий ответ

\[ f(x)=\left|3\cos 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+2\right|. \]

Период:

\[ T=\frac{2\pi}{2}=\pi. \]

График повторяется через \(\pi\).

Построение

1. \(y=\cos x\).
2. \(y=\cos 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\): сжатие по оси \(Ox\) и сдвиг вправо на \(\frac{\pi}{6}\).
3. Растяжение по вертикали в 3 раза и сдвиг вверх на 2: \[ y=3\cos 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+2. \]
4. Часть графика ниже оси \(Ox\) отразить вверх из-за модуля.

Обозначим

\[ a=\frac12\arccos\frac23\approx0{,}421. \]

За один период отметь точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x& \frac{\pi}{6}& \frac{5\pi}{12}& \frac{2\pi}{3}-a& \frac{2\pi}{3}& \frac{2\pi}{3}+a& \frac{11\pi}{12}& \frac{7\pi}{6}\\ \hline f(x)& 5&2&0&1&0&2&5 \end{array} \]

То есть точки идут так:

\[ \left(\frac{\pi}{6},5\right) \to \left(\frac{5\pi}{12},2\right) \to \left(\frac{2\pi}{3}-a,0\right) \to \left(\frac{2\pi}{3},1\right) \to \left(\frac{2\pi}{3}+a,0\right) \to \left(\frac{11\pi}{12},2\right) \to \left(\frac{7\pi}{6},5\right). \]

Соедини точки плавной линией и повторяй этот рисунок вправо и влево через \(\pi\).

Схематично один период выглядит так:

 y
 5       ●                                      ●
        / \                                    / \
 2     ●   \                                  /   ●
           \                                /
 1          \          ●                  /
 0           ●________/ \________________●
       π/6   ...     2π/3       ...     7π/6

Проверка: \(0\le f(x)\le5\), период \(T=\pi\).

---

Задание 4

Краткий ответ

\[ f(x)=\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)-1\right|. \]

Период тангенса:

\[ T=2\pi. \]

Вертикальные асимптоты:

\[ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Нули функции:

\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k. \]

Построение

\[ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{x+\pi/3}{2}. \]

От графика \(y=\tg x\):

1. растянуть по оси \(Ox\) в 2 раза;
2. сдвинуть влево на \(\frac{\pi}{3}\);
3. сдвинуть вниз на 1;
4. отрицательную часть отразить вверх из-за модуля.

Для одного промежутка

\[ -\frac{4\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3} \]

отметь точки:

\[ \begin{array}{c|cccccc} x& -\frac{5\pi}{6}& -\frac{\pi}{3}& 0& \frac{\pi}{6}& \frac{\pi}{3}& \frac{2\pi}{3}\\ \hline f(x)& 2&1& 1-\frac1{\sqrt3}& 0& \sqrt3-1& \text{асимптота} \end{array} \]

При этом:

\[ f(x)\to+\infty \quad\text{при}\quad x\to-\frac{4\pi}{3}+, \]

\[ f(x)\to+\infty \quad\text{при}\quad x\to\frac{2\pi}{3}-. \]

График на этом промежутке плавно спускается к точке

\[ \left(\frac{\pi}{6},0\right), \]

а затем снова поднимается.

 y
 ↑
∞  │\                                  /│
   │ \                                / │
 2 │  ●                            /   │
   │    \                        /     │
 1 │      ●                  /         │
   │        \              /           │
 0 │──────────●────────────────────────│→ x
          π/6
   -4π/3                         2π/3
        вертикальные асимптоты

После этого повторяй такую ветвь через \(2\pi\):

\[ f(x+2\pi)=f(x). \]

Проверка: график всегда находится выше оси \(Ox\), а в точках

\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \]

имеет значение \(0\).