Реши задание на изображении

Краткий ответ:

а) \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) корни:

\[ \boxed{\frac{7\pi}{2},\ \frac{17\pi}{4},\ \frac{9\pi}{2}}. \]

Решение

Используем формулу:

\[ \cos(x+\pi)=-\cos x. \]

Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ \sin 2x-\sqrt2\cos x=0. \]

Так как \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), получаем:

\[ 2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0, \]

\[ \cos x(2\sin x-\sqrt2)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) \(\cos x=0\)

\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

2) \(2\sin x-\sqrt2=0\)

\[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Отсюда:

\[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \]

или

\[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Итак, общее решение:

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.} \]

Отбор корней на отрезке

Из \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\):

\[ 3\pi\leq \frac{\pi}{2}+\pi k\leq\frac{9\pi}{2}. \]

После деления на \(\pi\):

\[ 3\leq \frac12+k\leq\frac92, \]

откуда \(k=3,4\). Получаем:

\[ x=\frac{7\pi}{2},\qquad x=\frac{9\pi}{2}. \]

Из \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\):

Подходит \(k=2\), поэтому:

\[ x=\frac{\pi}{4}+4\pi=\frac{17\pi}{4}. \]

Из \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\):

Целых значений \(k\), дающих корень на данном отрезке, нет.

Все найденные числа действительно принадлежат отрезку:

\[ 3\pi<\frac{7\pi}{2}<\frac{17\pi}{4}<\frac{9\pi}{2}. \]