Реши задание на изображении

Краткий ответ:

а) \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

б) На отрезке \(\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]\):

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}}. \]

Решение

Дано уравнение:

\[ \frac{\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)} {2\cos x-\sqrt3}=0. \]

Здесь \(\log_2^2(\sin x)\) означает \(\bigl(\log_2(\sin x)\bigr)^2\).

1. Область допустимых значений

Для существования логарифма:

\[ \sin x>0. \]

Знаменатель не должен обращаться в ноль:

\[ 2\cos x-\sqrt3\ne0. \]

2. Приравняем числитель к нулю

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ \bigl(\log_2(\sin x)\bigr)^2+\log_2(\sin x)=0. \]

Обозначим:

\[ t=\log_2(\sin x). \]

Тогда:

\[ t^2+t=0, \]

\[ t(t+1)=0. \]

Отсюда:

\[ t=0 \quad\text{или}\quad t=-1. \]

3. Решим полученные уравнения

а) \(t=0\):

\[ \log_2(\sin x)=0, \]

\[ \sin x=1. \]

Следовательно,

\[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Знаменатель:

\[ 2\cos\frac{\pi}{2}-\sqrt3=-\sqrt3\ne0, \]

поэтому эти значения подходят.

б) \(t=-1\):

\[ \log_2(\sin x)=-1, \]

\[ \sin x=2^{-1}=\frac12. \]

Отсюда:

\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \]

При \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\):

\[ 2\cos x-\sqrt3 =2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3=0, \]

поэтому эти значения исключаются.

При \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\):

\[ 2\cos x-\sqrt3 =2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\sqrt3 =-2\sqrt3\ne0. \]

Значит,

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z}. \]

Отбор корней на отрезке

На отрезок \(\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]\) попадают только значения при \(k=0\):

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}}. \]

Проверка: при \(x=\frac{\pi}{2}\) логарифм равен \(0\), а при \(x=\frac{5\pi}{6}\) логарифм равен \(-1\); в обоих случаях числитель равен нулю, знаменатель ненулевой.