реши номер 385

Конечно. Во всех уравнениях сделаем замену

\[ y=x^2,\qquad y\ge 0, \]

а затем решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad y=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

1. Решение уравнений

а) \(\boldsymbol{x^4-6x^2+8=0}\)

Пусть \(y=x^2\). Получаем:

\[ y^2-6y+8=0. \]

Здесь \(a=1,\ b=-6,\ c=8\).

\[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4. \]

\[ y_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt4}{2} =\frac{6\pm2}{2}. \]

\[ y_1=4,\qquad y_2=2. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x^2=4\Rightarrow x=\pm2; \]

\[ x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm2,\ \pm\sqrt2}. \]

---

б) \(\boldsymbol{4x^4+3x^2-1=0}\)

Пусть \(y=x^2\):

\[ 4y^2+3y-1=0. \]

Здесь \(a=4,\ b=3,\ c=-1\).

\[ D=3^2-4\cdot4\cdot(-1)=9+16=25. \]

\[ y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{8} =\frac{-3\pm5}{8}. \]

\[ y_1=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{-8}{8}=-1. \]

Так как \(y=x^2\ge0\), значение \(y=-1\) не подходит.

\[ x^2=\frac14\Rightarrow x=\pm\frac12. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm\frac12}. \]

---

в) \(\boldsymbol{2x^4+9x^2+4=0}\)

Пусть \(y=x^2\):

\[ 2y^2+9y+4=0. \]

Здесь \(a=2,\ b=9,\ c=4\).

\[ D=9^2-4\cdot2\cdot4=81-32=49. \]

\[ y_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{49}}{4} =\frac{-9\pm7}{4}. \]

\[ y_1=\frac{-2}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{-16}{4}=-4. \]

Оба значения отрицательные, а \(y=x^2\ge0\). Значит, действительных корней нет.

Ответ:

\[ \boxed{\text{действительных корней нет}}. \]

---

г) \(\boldsymbol{x^4-6x^2+9=0}\)

Пусть \(y=x^2\):

\[ y^2-6y+9=0. \]

Здесь \(a=1,\ b=-6,\ c=9\).

\[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0. \]

\[ y=\frac{-(-6)}{2}=\frac62=3. \]

\[ x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm\sqrt3}. \]

---

2. Примеры через дискриминант

Уравнение с четырьмя корнями

\[ x^4-5x^2+4=0. \]

Пусть \(y=x^2\):

\[ y^2-5y+4=0. \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9. \]

\[ y_{1,2}=\frac{5\pm3}{2}. \]

\[ y_1=4,\qquad y_2=1. \]

Оба значения положительные, поэтому:

\[ x=\pm2,\ \pm1. \]

Получили четыре корня.

---

Уравнение с двумя корнями

\[ x^4-6x^2+9=0. \]

Пусть \(y=x^2\):

\[ y^2-6y+9=0. \]

\[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0. \]

\[ y=3. \]

\[ x=\pm\sqrt3. \]

Получили два корня.

---

Уравнение без действительных корней

\[ x^4+x^2+1=0. \]

Пусть \(y=x^2\):

\[ y^2+y+1=0. \]

\[ D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0. \]

Действительных значений \(y\) нет, поэтому нет и действительных значений \(x\).

Ответ: действительных корней нет.

4. Дано:

\[ v_0=0,\qquad a=0{,}3\ \text{м/с}^2,\qquad v=15\ \text{м/с}. \]

Используем формулу:

\[ v^2-v_0^2=2as. \]

Так как \(v_0=0\), то

\[ s=\frac{v^2}{2a} =\frac{15^2}{2\cdot0{,}3} =\frac{225}{0{,}6}=375\ \text{м}. \]

Ответ: \(\boxed{375\ \text{м}}\).

Решаю все задания по двум фото. В № 4 беру условие с фотографии — предыдущий ответ \(375\) м был не по этому варианту.

1

Воздушный шар нельзя считать материальной точкой при определении архимедовой силы, потому что

\[ F_A=\rho gV, \]

а сила Архимеда зависит от объёма \(V\) вытесненного воздуха. У материальной точки объём не учитывается.

Ответ: нельзя.

---

2

Мяч сначала опустился с высоты \(2\) м до земли:

\[ s_1=2\text{ м}. \]

После отскока поднялся на высоту \(1\) м:

\[ s_2=1\text{ м}. \]

Полный путь:

\[ s=s_1+s_2=2+1=3\text{ м}. \]

Начальная координата — \(2\) м, конечная — \(1\) м. Если ось направить вверх, то

\[ \Delta y=1-2=-1\text{ м}. \]

Ответ: путь — \(\boxed{3\text{ м}}\), перемещение — \(\boxed{1\text{ м вниз}}\) или \(\boxed{-1\text{ м}}\).

---

3

На графике обе линии горизонтальные, значит проекция скорости постоянна.

а)

Автомобили движутся равномерно, так как

\[ a_x=0. \]

б)

Обе линии находятся ниже оси \(t\), поэтому

\[ v_x<0. \]

Скорости автомобилей направлены в одну сторону — противоположно положительному направлению оси \(OX\).

в)

По графику:

\[ v_{1x}=-0{,}6\text{ м/с},\qquad v_{2x}=-0{,}9\text{ м/с}. \]

Скорость — это модуль проекции:

\[ v_1=|v_{1x}|=0{,}6\text{ м/с}, \]

\[ v_2=|v_{2x}|=0{,}9\text{ м/с}. \]

Ответ: автомобиль 1 движется со скоростью \(\boxed{0{,}6\text{ м/с}}\), автомобиль 2 — \(\boxed{0{,}9\text{ м/с}}\).

---

4

Дано:

\[ v_0=0{,}2\text{ м/с},\qquad v=2\text{ м/с},\qquad t=3\text{ с}. \]

Проекция ускорения:

\[ a_x=\frac{v-v_0}{t}. \]

Подставим:

\[ a_x=\frac{2-0{,}2}{3} =\frac{1{,}8}{3} =0{,}6\text{ м/с}^2. \]

Ответ:

\[ \boxed{a_x=0{,}6\text{ м/с}^2}. \]

---

5

Дано:

\[ v_0=20\text{ м/с},\qquad a=-0{,}25\text{ м/с}^2,\qquad t=20\text{ с}. \]

При торможении ускорение отрицательное:

\[ v=v_0+at. \]

\[ v=20-0{,}25\cdot20=20-5=15\text{ м/с}. \]

Ответ:

\[ \boxed{15\text{ м/с}}. \]

---

6

По графику при

\[ t=3\text{ с} \]

скорость равна

\[ v_x=3\text{ м/с}. \]

Начальная скорость:

\[ v_{0x}=0. \]

Проекция ускорения:

\[ a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t} =\frac{3-0}{3} =1\text{ м/с}^2. \]

Так как ускорение направлено в положительную сторону оси \(OX\), его модуль равен:

\[ |a|=1\text{ м/с}^2. \]

Ответ:

\[ \boxed{a_x=1\text{ м/с}^2},\qquad \boxed{|a|=1\text{ м/с}^2}. \]

---

7

Переведём скорость:

\[ 54\text{ км/ч}=\frac{54}{3{,}6}=15\text{ м/с}. \]

Дано:

\[ v_0=15\text{ м/с},\qquad a=-0{,}5\text{ м/с}^2,\qquad t=10\text{ с}. \]

Путь при равноускоренном движении:

\[ s=v_0t+\frac{at^2}{2}. \]

\[ s=15\cdot10+\frac{(-0{,}5)\cdot10^2}{2} =150-25=125\text{ м}. \]

Ответ:

\[ \boxed{125\text{ м}}. \]