Номер 1
Краткий ответ:
\[ \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y} =\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}, \qquad x\ne y,\; x\ne -y. \]
Решение:
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y} = \frac{x(x-y)+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}. \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ x(x-y)+y(x+y) =x^2-xy+xy+y^2=x^2+y^2. \]
Знаменатель преобразуем по формуле разности квадратов:
\[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2. \]
Значит,
\[ \boxed{\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}}. \]
Ограничения появляются потому, что исходные знаменатели не должны быть равны нулю:
\[ x+y\ne0,\qquad x-y\ne0. \]
Проверка: при \(x=2,\ y=1\)
\[ \frac23+\frac11=\frac53, \qquad \frac{2^2+1^2}{2^2-1^2}=\frac53. \]
Обсуждение
11 сообщенийНомер 1
По фото № 1:
\[ \frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b} \]
Общий знаменатель:
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]
Тогда
\[ \frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b} = \frac{a(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)}. \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{a^2+ab+ab-b^2}{a^2-b^2} = \boxed{\frac{a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2}}. \]
ОДЗ:
\[ a\ne b,\qquad a\ne -b. \]
Задание 2
На фото № 2 несколько символов размыты, поэтому я не могу надёжно прочитать первую дробь. Перепиши выражение текстом или пришли более чёткое фото, пожалуйста.
Задание 2
Задание 2. Читаю выражение так:
\[ \frac{m+2}{4m}+\frac{1}{m+y}. \]
Общий знаменатель:
\[ 4m(m+y). \]
Тогда
\[ \frac{m+2}{4m}+\frac{1}{m+y} = \frac{(m+2)(m+y)+4m}{4m(m+y)}. \]
Раскроем скобки:
\[ (m+2)(m+y)+4m =m^2+my+2m+2y+4m =m^2+my+6m+2y. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{m^2+my+6m+2y}{4m(m+y)}}. \]
ОДЗ:
\[ m\ne0,\qquad m\ne-y. \]
Номер 2
Выражение в № 2 сильно зачёркнуто, поэтому его нельзя надёжно прочитать. Перепиши его, пожалуйста, текстом или пришли более чёткое фото.
Номер 2
Если в № 2 записано уравнение
\[ \frac{a+1}{2a}=\frac{1}{a-2}, \]
то решаем.
ОДЗ:
\[ a\ne0,\qquad a\ne2. \]
Перемножим крест-накрест:
\[ (a+1)(a-2)=2a. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2-a-2=2a, \]
\[ a^2-3a-2=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-2)=17. \]
Корни:
\[ \boxed{a_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}}. \]
Оба корня входят в ОДЗ.
Задание 408
