Реши задание на изображении

Понял. Нужно оформить полное решение методом Гаусса, как в образце: составить расширенную матрицу, получить ступенчатый вид и затем выполнить обратную подстановку.

Обозначение \(R_i\) — \(i\)-я строка матрицы.

1

\[ \begin{cases} x+y+z=6,\\ 2x-y+z=3,\\ x+2y-z=2. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 2&-1&1&3\\ 1&2&-1&2 \end{array} \right] \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-3&-1&-9\\ 0&1&-2&-4 \end{array} \right] \]

Поменяем местами \(R_2\) и \(R_3\):

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-2&-4\\ 0&-3&-1&-9 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3+3R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-2&-4\\ 0&0&-7&-21 \end{array} \right] \]

\[ -7z=-21\Rightarrow z=3. \]

\[ y-2z=-4,\qquad y-6=-4,\qquad y=2. \]

\[ x+y+z=6,\qquad x+2+3=6,\qquad x=1. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(1;2;3)} \]

---

2

\[ \begin{cases} x+y+z=4,\\ 2x-y+3z=14,\\ 3x+2y-z=1. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 2&-1&3&14\\ 3&2&-1&1 \end{array} \right] \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-3R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-3&1&6\\ 0&-1&-4&-11 \end{array} \right] \]

Поменяем \(R_2\) и \(R_3\):

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-1&-4&-11\\ 0&-3&1&6 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-3R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-1&-4&-11\\ 0&0&13&39 \end{array} \right] \]

\[ 13z=39\Rightarrow z=3. \]

\[ -y-4z=-11,\qquad -y-12=-11,\qquad y=-1. \]

\[ x+y+z=4,\qquad x-1+3=4,\qquad x=2. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(2;-1;3)} \]

---

3

\[ \begin{cases} 2x+y-z=3,\\ x-y+2z=2,\\ 3x+2y+z=11. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&-1&3\\ 1&-1&2&2\\ 3&2&1&11 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&2\\ 2&1&-1&3\\ 3&2&1&11 \end{array} \right] \]

\[ \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-3R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&2\\ 0&3&-5&-1\\ 0&5&-5&5 \end{array} \right] \]

\[ R_3\leftarrow 3R_3-5R_2: \qquad \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&2\\ 0&3&-5&-1\\ 0&0&10&20 \end{array} \right] \]

\[ 10z=20\Rightarrow z=2. \]

\[ 3y-5z=-1,\qquad 3y-10=-1,\qquad y=3. \]

\[ x-y+2z=2,\qquad x-3+4=2,\qquad x=1. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(1;3;2)} \]

---

4

\[ \begin{cases} x+2y+z=3,\\ 2x+y-z=9,\\ 3x-y+2z=4. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&3\\ 2&1&-1&9\\ 3&-1&2&4 \end{array} \right] \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-3R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&3\\ 0&-3&-3&3\\ 0&-7&-1&-5 \end{array} \right] \]

\[ R_3\leftarrow 3R_3-7R_2: \qquad \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&3\\ 0&-3&-3&3\\ 0&0&18&-36 \end{array} \right] \]

\[ 18z=-36\Rightarrow z=-2. \]

\[ -3y-3z=3,\qquad -3y+6=3,\qquad y=1. \]

\[ x+2y+z=3,\qquad x+2-2=3,\qquad x=3. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(3;1;-2)} \]

---

5

\[ \begin{cases} 2x-y+z=7,\\ x+3y+2z=13,\\ x+y-z=-1. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&-1&1&7\\ 1&3&2&13\\ 1&1&-1&-1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&3&2&13\\ 2&-1&1&7\\ 1&1&-1&-1 \end{array} \right] \]

\[ \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&3&2&13\\ 0&-7&-3&-19\\ 0&-2&-3&-14 \end{array} \right] \]

\[ R_3\leftarrow 7R_3-2R_2: \qquad \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&3&2&13\\ 0&-7&-3&-19\\ 0&0&-15&-60 \end{array} \right] \]

\[ -15z=-60\Rightarrow z=4. \]

\[ -7y-3z=-19,\qquad -7y-12=-19,\qquad y=1. \]

\[ x+3y+2z=13,\qquad x+3+8=13,\qquad x=2. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(2;1;4)} \]

---

6

\[ \begin{cases} x-y+2z=3,\\ 2x+y+z=3,\\ 3x+2y-z=-2. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&3\\ 2&1&1&3\\ 3&2&-1&-2 \end{array} \right] \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-3R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&3\\ 0&3&-3&-3\\ 0&5&-7&-11 \end{array} \right] \]

\[ R_3\leftarrow 3R_3-5R_2: \qquad \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&3\\ 0&3&-3&-3\\ 0&0&-6&-18 \end{array} \right] \]

\[ -6z=-18\Rightarrow z=3. \]

\[ 3y-3z=-3,\qquad 3y-9=-3,\qquad y=2. \]

\[ x-y+2z=3,\qquad x-2+6=3,\qquad x=-1. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(-1;2;3)} \]

---

7

\[ \begin{cases} 2x+y+z=2,\\ x+2y+z=-1,\\ x-y+2z=7. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&1&2\\ 1&2&1&-1\\ 1&-1&2&7 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&-1\\ 2&1&1&2\\ 1&-1&2&7 \end{array} \right] \]

\[ \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&-1\\ 0&-3&-1&4\\ 0&-3&1&8 \end{array} \right] \]

\[ R_3\leftarrow R_3-R_2: \qquad \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&-1\\ 0&-3&-1&4\\ 0&0&2&4 \end{array} \right] \]

\[ 2z=4\Rightarrow z=2. \]

\[ -3y-z=4,\qquad -3y-2=4,\qquad y=-2. \]

\[ x+2y+z=-1,\qquad x-4+2=-1,\qquad x=1. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(1;-2;2)} \]

---

8

\[ \begin{cases} x+2y-z=7,\\ 2x-y+z=6,\\ x+y+2z=3. \end{cases} \]

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&7\\ 2&-1&1&6\\ 1&1&2&3 \end{array} \right] \xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\ R_3\leftarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&7\\ 0&-5&3&-8\\ 0&-1&3&-4 \end{array} \right] \]

Поменяем \(R_2\) и \(R_3\):

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&7\\ 0&-1&3&-4\\ 0&-5&3&-8 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-5R_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&7\\ 0&-1&3&-4\\ 0&0&-12&12 \end{array} \right] \]

\[ -12z=12\Rightarrow z=-1. \]

\[ -y+3z=-4,\qquad -y-3=-4,\qquad y=1. \]

\[ x+2y-z=7,\qquad x+2+1=7,\qquad x=4. \]

\[ \boxed{(x;y;z)=(4;1;-1)} \]

Ответы:

\[ \boxed{ \begin{array}{c|c} 1&(1;2;3)\\ 2&(2;-1;3)\\ 3&(1;3;2)\\ 4&(3;1;-2)\\ 5&(2;1;4)\\ 6&(-1;2;3)\\ 7&(1;-2;2)\\ 8&(4;1;-1) \end{array}} \]