17 18 номера реши
Краткий ответ
17. Найдём производные
а)
\[
f'(x)=-2x-\frac{4}{x^3}
\]
б)
\[
f'(x)=2-\frac{12}{x^5}+7\cos x
\]
в)
\[
v'(t)=80(5t-4)^{15}
\]
г)
\[
f'(s)=\frac{6\cos\left(\frac{\pi}{3}-s\right)}
{\sin^3\left(\frac{\pi}{3}-s\right)}
\]
д)
\[
g'(y)=-\frac{18}{y^7}
-\frac{32\sin(4y-3)}{\cos^3(4y-3)}
\]
е)
\[
f'(x)=
\frac{70(10x-3)}
{\left[1-(10x-3)^2\right]^{3/2}}
\]
18. Найдём интегралы
а)
\[
\int\left(3x^3-4x+\frac9x\right)dx
=\frac34x^4-2x^2+9\ln|x|+C
\]
б)
\[
\int\frac{9x^7+4}{x^3}\,dx
=\frac95x^5-\frac2{x^2}+C
\]
в)
\[
\int(4x^2-x+5)\,dx
=\frac43x^3-\frac12x^2+5x+C
\]
г)
\[
\int\left(\frac3{\cos^2x}+
\frac4{\sqrt{1-x}}\right)dx
=3\tan x-8\sqrt{1-x}+C
\]
д)
\[
\int 3x\sqrt{x}\,dx
=\frac65x^{5/2}+C
\]
е)
\[
\int\frac5{\sqrt[5]{x}}\,dx
=\frac{25}{4}x^{4/5}+C
\]
Ключевые шаги
№17
Используем правила:
\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sin x)'=\cos x, \]
\[ (u^n)'=nu^{n-1}u' \]
Например, в пункте в:
\[ v(t)=(5t-4)^{16}, \]
\[ v'(t)=16(5t-4)^{15}\cdot5 =80(5t-4)^{15}. \]
В пункте г положим
\[ u=\frac{\pi}{3}-s,\qquad u'=-1. \]
Тогда
\[ f(s)=3\sin^{-2}u, \]
\[ f'(s)=3(-2)\sin^{-3}u\cdot\cos u\cdot(-1) =\frac{6\cos u}{\sin^3u}. \]
В пункте е:
\[ f(x)=7\left[1-(10x-3)^2\right]^{-1/2}. \]
Внешняя функция даёт множитель \(-\frac12\), а внутренняя:
\[ \left[1-(10x-3)^2\right]'=-20(10x-3). \]
Поэтому
\[ f'(x)=7\cdot\left(-\frac12\right) \left[1-(10x-3)^2\right]^{-3/2} \cdot[-20(10x-3)]. \]
№18
Используем:
\[ \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne-1, \]
\[ \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\qquad \int\frac{dx}{\cos^2x}=\tan x. \]
Например, в пункте б сначала делим каждый член на \(x^3\):
\[ \frac{9x^7+4}{x^3}=9x^4+4x^{-3}. \]
Тогда
\[ \int(9x^4+4x^{-3})dx =\frac95x^5-2x^{-2}+C =\frac95x^5-\frac2{x^2}+C. \]
Проверка пункта г:
\[ (3\tan x-8\sqrt{1-x})' =\frac3{\cos^2x} +\frac4{\sqrt{1-x}}, \]
то есть получаем исходный подынтегральный выражение.
Обсуждение
2 сообщенияРазобрать подробно любой пункт из №17 или №18
Разберём подробно №18(б):
\[ \int \frac{9x^7+4}{x^3}\,dx. \]
1. Разделим дробь на слагаемые
\[ \frac{9x^7+4}{x^3} =\frac{9x^7}{x^3}+\frac4{x^3} =9x^4+4x^{-3}. \]
Тогда интеграл принимает вид:
\[ \int(9x^4+4x^{-3})\,dx. \]
2. Проинтегрируем каждое слагаемое
Используем формулу:
\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1. \]
Для первого слагаемого:
\[ \int 9x^4\,dx =9\cdot\frac{x^5}{5} =\frac95x^5. \]
Для второго:
\[ \int 4x^{-3}\,dx =4\cdot\frac{x^{-2}}{-2} =-2x^{-2} =-\frac2{x^2}. \]
3. Запишем ответ
\[ \boxed{\int \frac{9x^7+4}{x^3}\,dx =\frac95x^5-\frac2{x^2}+C},\qquad x\ne0. \]
Проверка
\[ \left(\frac95x^5-\frac2{x^2}\right)' =9x^4+\frac4{x^3} =\frac{9x^7+4}{x^3}. \]
Значит, решение верное.
