Ответ
Краткий ответ
а) \(6{,}6\);
б) \(\dfrac{18}{7}\);
в) \(\dfrac{\sqrt{15}}{1000}\);
г) \(18\);
д) \(\dfrac{1}{10}\).\(20\).
а) \(12{,}6\);
б) \(\dfrac{14}{5}=2{,}8\);
в) \(105\);
г) \(1{,}2\);
д) \(7\).\(10\).
\(\displaystyle \frac{16m^2}{7n^8}\).
\(2\).
\(\approx79{,}33\).
Ключевые шаги
Используем свойства: \[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad \sqrt{x^2}=|x|. \]
1
а) \[ \sqrt{36\cdot1{,}21} =\sqrt{6^2\cdot1{,}1^2} =6\cdot1{,}1=6{,}6. \]
б) \[ 3\frac{6}{25}=\frac{81}{25}=\left(\frac95\right)^2, \qquad 2\frac{2}{49}=\frac{100}{49}=\left(\frac{10}{7}\right)^2. \] Тогда \[ \sqrt{3\frac{6}{25}\cdot2\frac{2}{49}} =\frac95\cdot\frac{10}{7} =\frac{18}{7}. \]
в) \[ \sqrt{15\cdot10^{-6}} =\sqrt{15}\cdot10^{-3} =\frac{\sqrt{15}}{1000}. \]
г) \[ \sqrt{2{,}7}\cdot\sqrt{120} =\sqrt{2{,}7\cdot120} =\sqrt{324}=18. \]
д) \[ \frac{\sqrt5}{\sqrt{500}} =\sqrt{\frac5{500}} =\sqrt{\frac1{100}} =\frac1{10}. \]
2
\[ \sqrt{29^2-21^2} =\sqrt{(29-21)(29+21)} =\sqrt{8\cdot50} =\sqrt{400}=20. \]
3
а) \[ \sqrt{81\cdot1{,}96} =\sqrt{9^2\cdot1{,}4^2} =9\cdot1{,}4=12{,}6. \]
б) \[ 5\frac{19}{25}=\frac{144}{25}=\left(\frac{12}{5}\right)^2, \qquad 1\frac{13}{36}=\frac{49}{36}=\left(\frac76\right)^2. \] \[ \sqrt{5\frac{19}{25}\cdot1\frac{13}{36}} =\frac{12}{5}\cdot\frac76 =\frac{14}{5}=2{,}8. \]
в) \[ \sqrt{21\cdot15\cdot35} =\sqrt{(3\cdot7)(3\cdot5)(5\cdot7)} =\sqrt{(3\cdot5\cdot7)^2}=105. \]
г) \[ \sqrt{7{,}2}\cdot\sqrt{0{,}2} =\sqrt{7{,}2\cdot0{,}2} =\sqrt{1{,}44}=1{,}2. \]
д) \[ \frac{\sqrt{343}}{\sqrt7} =\sqrt{\frac{343}{7}} =\sqrt{49}=7. \]
4
\[ \sqrt{\frac{27^2-23^2}{2}} =\sqrt{\frac{(27-23)(27+23)}2} =\sqrt{\frac{4\cdot50}{2}} =\sqrt{100}=10. \]
5
Так как \(m,n>0\), \[ \sqrt{\frac{256m^4}{49n^{16}}} =\frac{16\sqrt{m^4}}{7\sqrt{n^{16}}} =\frac{16m^2}{7n^8}. \]
6
\[ \frac{\sqrt{61^2-60^2}}{\sqrt{25}}-\frac15 =\frac{\sqrt{(61-60)(61+60)}}5-\frac15 =\frac{11}{5}-\frac15=2. \]
7
\[ \sqrt{4600}=10\sqrt{46},\qquad \sqrt{0{,}46}=\frac{\sqrt{46}}{10},\qquad \sqrt{184}=2\sqrt{46}. \]
Значит, \[ \sqrt{4600}-3\sqrt{0{,}46}+\sqrt{184} =\left(10-\frac3{10}+2\right)\sqrt{46} =11{,}7\sqrt{46}. \]
Используем \(\sqrt{46}\approx6{,}78\): \[ 11{,}7\cdot6{,}78=79{,}326\approx79{,}33. \]
Проверка, например: \[ 6{,}6^2=43{,}56=36\cdot1{,}21,\qquad 105^2=11025=21\cdot15\cdot35. \]
Обсуждение
2 сообщенияРазобрать подробнее свойства квадратных корней
Квадратный корень: основные свойства
1. Что означает знак корня
\[ \sqrt a \]
— это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Например:
\[ \sqrt{25}=5, \]
потому что \(5^2=25\).
Важно:
\[ \sqrt{25}\neq \pm5. \]
Но уравнение
\[ x^2=25 \]
имеет два корня:
\[ x=\pm5. \]
То есть знак \(\sqrt{\phantom a}\) обозначает только положительное или нулевое значение.
Корень существует среди действительных чисел только при
\[ a\ge 0. \]
2. Возведение корня в квадрат
При \(a\ge0\):
\[ (\sqrt a)^2=a. \]
Примеры:
\[ (\sqrt{13})^2=13, \]
\[ \left(\sqrt{\frac49}\right)^2=\frac49. \]
Это свойство позволяет убрать корень, если он стоит в квадрате.
3. Корень из квадрата
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Здесь появляются модули, потому что квадрат всегда неотрицателен.
Если \(a\ge0\)
\[ \sqrt{a^2}=a. \]
Например:
\[ \sqrt{7^2}=7. \]
Если \(a<0\)
\[ \sqrt{a^2}=-a. \]
Например:
\[ \sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7, \]
а не \(-7\).
Поэтому правильная общая формула:
\[ \boxed{\sqrt{a^2}=|a|}. \]
4. Корень из произведения
Если \(a\ge0\) и \(b\ge0\), то
\[ \boxed{\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b}. \]
Пример
\[ \sqrt{36\cdot1{,}21} =\sqrt{36}\cdot\sqrt{1{,}21} =6\cdot1{,}1 =6{,}6. \]
Потому что
\[ \sqrt{36}=6,\qquad \sqrt{1{,}21}=1{,}1. \]
Как выносить квадратный множитель
Если под корнем есть полный квадрат, его можно вынести:
\[ \sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b. \]
Например:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2. \]
Ещё пример:
\[ \sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2. \]
5. Корень из дроби
Если \(a\ge0\), а \(b>0\), то
\[ \boxed{\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}}. \]
Пример
\[ \sqrt{\frac{9}{16}} =\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}} =\frac34. \]
Обратное преобразование также верно:
\[ \frac{\sqrt a}{\sqrt b} =\sqrt{\frac ab}. \]
Например:
\[ \frac{\sqrt5}{\sqrt{500}} =\sqrt{\frac5{500}} =\sqrt{\frac1{100}} =\frac1{10}. \]
6. Сложение и вычитание корней
Корни можно складывать или вычитать только тогда, когда после упрощения у них одинаковая подкоренная часть.
Можно
\[ 2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3. \]
Например:
\[ \sqrt8+\sqrt{18} =2\sqrt2+3\sqrt2 =5\sqrt2. \]
Нельзя просто складывать подкоренные выражения
Неверно:
\[ \sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+b}. \]
Например:
\[ \sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7, \]
но
\[ \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \]
Значит,
\[ \sqrt9+\sqrt{16}\ne\sqrt{25}. \]
7. Корень из суммы или разности
В общем случае:
\[ \sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b, \]
\[ \sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b. \]
Например:
\[ \sqrt{16-9}=\sqrt7, \]
а
\[ \sqrt{16}-\sqrt9=4-3=1. \]
Следовательно,
\[ \sqrt{16-9}\ne\sqrt{16}-\sqrt9. \]
Свойства произведения и дроби работают, а свойства суммы и разности — нет.
8. Разность квадратов
Иногда под корнем находится разность квадратов:
\[ a^2-b^2. \]
Её можно разложить по формуле:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Пример из задания
\[ \sqrt{29^2-21^2}. \]
Сначала разложим разность квадратов:
\[ 29^2-21^2=(29-21)(29+21). \]
Тогда
\[ \sqrt{29^2-21^2} =\sqrt{8\cdot50} =\sqrt{400} =20. \]
Важно: нельзя писать
\[ \sqrt{a^2-b^2}=a-b. \]
Это неверно.
9. Сравнение квадратных корней
Если
\[ 0\le a<b, \]
то
\[ \sqrt a<\sqrt b. \]
Например:
\[ 7<12 \quad\Rightarrow\quad \sqrt7<\sqrt{12}. \]
Квадратный корень сохраняет порядок неотрицательных чисел.
10. Корни и степени десяти
Например:
\[ \sqrt{10^{-6}} =\sqrt{\frac1{10^6}} =\frac1{10^3} =10^{-3}. \]
Поэтому:
\[ \sqrt{15\cdot10^{-6}} =\sqrt{15}\cdot\sqrt{10^{-6}} =\sqrt{15}\cdot10^{-3} =\frac{\sqrt{15}}{1000}. \]
11. Разбор выражения с буквами
Пусть \(m>0\), \(n>0\):
\[ \sqrt{\frac{256m^4}{49n^{16}}}. \]
Используем свойство корня из дроби:
\[ \sqrt{\frac{256m^4}{49n^{16}}} = \frac{\sqrt{256}\sqrt{m^4}} {\sqrt{49}\sqrt{n^{16}}}. \]
Теперь:
\[ \sqrt{256}=16, \]
\[ \sqrt{m^4}=\sqrt{(m^2)^2}=m^2, \]
\[ \sqrt{49}=7, \]
\[ \sqrt{n^{16}}=\sqrt{(n^8)^2}=n^8. \]
Получаем:
\[ \boxed{\sqrt{\frac{256m^4}{49n^{16}}} =\frac{16m^2}{7n^8}}. \]
12. Самые частые ошибки
Ошибка 1
\[ \sqrt{a^2}=a. \]
Правильно:
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Ошибка 2
\[ \sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b. \]
Так делать нельзя.
Ошибка 3
\[ \sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b. \]
В общем случае это неверно.
Ошибка 4
Забыть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[ \sqrt{-9} \]
не имеет действительного значения.
Краткая памятка
Можно использовать:
\[ (\sqrt a)^2=a, \]
\[ \sqrt{a^2}=|a|, \]
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b, \]
\[ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}. \]
Нельзя в общем случае использовать:
\[ \sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b, \]
\[ \sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b. \]
Главный алгоритм: разложить подкоренное выражение на множители, найти полные квадраты и вынести их из-под корня.
