Реши 88

88. Разложите на множители:

а)
\[ 4x^2-6x+2xy-3y =2x(2x-3)+y(2x-3) =(2x+y)(2x-3). \]

б)
\[ \begin{aligned} 4a^3+2b^3-2a^2b-4ab^2 &=4a(a^2-b^2)-2b(a^2-b^2)\\ &=(4a-2b)(a^2-b^2)\\ &=2(2a-b)(a-b)(a+b). \end{aligned} \]

Ответ:
\[ \boxed{(2x+y)(2x-3);} \qquad \boxed{2(2a-b)(a-b)(a+b)}. \]

а) Через дискриминант

Рассмотрим выражение как квадратный трёхчлен относительно \(x\):

\[ 4x^2+(2y-6)x-3y. \]

\[ D=(2y-6)^2-4\cdot4\cdot(-3y) =4(y+3)^2. \]

Корни:

\[ x_{1,2}=\frac{-(2y-6)\pm 2(y+3)}{8}. \]

Получаем:

\[ x_1=\frac32,\qquad x_2=-\frac y2. \]

Тогда

\[ 4x^2+(2y-6)x-3y =4\left(x-\frac32\right)\left(x+\frac y2\right). \]

\[ \boxed{(2x-3)(2x+y)} \]

б)

Это выражение является кубическим, поэтому напрямую через дискриминант его не разложить. Сначала выделим линейный множитель:

\[ 4a^3+2b^3-2a^2b-4ab^2 =(2a-b)(2a^2-2b^2). \]

\[ =2(2a-b)(a^2-b^2). \]

Теперь применим дискриминант к \(a^2-b^2\):

\[ D=0^2-4\cdot1\cdot(-b^2)=4b^2. \]

Корни: \(a=b\) и \(a=-b\). Поэтому

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

\[ \boxed{2(2a-b)(a-b)(a+b)} \]

Для пункта а) корни:

\[ x_1=\frac{-(2y-6)+2(y+3)}{8}=\frac32, \]

\[ x_2=\frac{-(2y-6)-2(y+3)}{8}=-\frac y2. \]

Для пункта б):

\[ a_1=b,\qquad a_2=-b. \]

а) \(x_1=\frac32,\quad x_2=-\frac y2\).

б) \(a_1=b,\quad a_2=-b\).