Выполните номер 29 с подробным решением
Краткий ответ: \(H\) — середина отрезка \(MC\), поэтому
\[
KH=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.
\]
Подробное решение
Рассмотрим треугольник \(MBC\).
- По условию \(K\) — середина отрезка \(BM\).
- Возьмём точку \(H\) — середину отрезка \(MC\).
В треугольнике \(MBC\) отрезок \(KH\) соединяет середины двух его сторон. Поэтому по теореме о средней линии треугольника:
\[ KH\parallel BC,\qquad KH=\frac12BC. \]
Так как \(ABCD\) — трапеция, её основания параллельны:
\[ AD\parallel BC. \]
Следовательно,
\[ KH\parallel AD. \]
Плоскость \(ADK\) содержит прямую \(AD\) и точку \(K\). Значит, прямая, проведённая через \(K\) параллельно \(AD\), также лежит в этой плоскости. Но \(KH\parallel AD\), поэтому
\[ H\in (ADK). \]
При этом по построению \(H\in MC\). Следовательно, плоскость \(ADK\) пересекает отрезок \(MC\) в точке \(H\).
Теперь найдём длину \(KH\):
\[ KH=\frac12BC=\frac12\cdot12=6\text{ см}. \]
Ответ: \(\boxed{KH=6\text{ см}}\).
Обсуждение
2 сообщениявыполните, пожалуйста, номера 23, 31, 32
№ 23
1) Построение точки \(C_1\)
Рассмотрим плоскость \((ABB_1)\). Она пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AB_1\), так как точки \(A\) и \(B_1\) принадлежат плоскости \(\alpha\).
Через точку \(C\) проведём прямую, параллельную \(BB_1\). Она лежит в плоскости \((ABB_1)\) и пересекает прямую \(AB_1\) в точке \(C_1\).
Таким образом:
\[ C_1=AB_1\cap \{\text{прямая через }C,\parallel BB_1\}. \]
2) Нахождение \(BB_1\)
Так как
\[ CC_1\parallel BB_1, \]
то треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\) подобны:
\[ \frac{AC}{AB}=\frac{CC_1}{BB_1}. \]
По условию:
\[ AB=10\text{ см},\qquad AC:CC_1=2:5. \]
Пусть
\[ AC=2x,\qquad CC_1=5x. \]
Тогда
\[ \frac{2x}{10}=\frac{5x}{BB_1}. \]
Отсюда:
\[ BB_1=\frac{10\cdot 5x}{2x}=25\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{BB_1=25\text{ см}}. \]
№ 31
Пусть \(\gamma\) — плоскость треугольника \(ABC\).
Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(\gamma\) по прямой \(B_1C_1\). По условию:
\[ BC\parallel\alpha. \]
Так как \(BC\) лежит в плоскости \(\gamma\), то прямая \(BC\) параллельна линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\):
\[ BC\parallel B_1C_1. \]
Следовательно, треугольники \(AB_1C_1\) и \(ABC\) подобны.
Из условия:
\[ AC_1:C_1C=3:2. \]
Тогда
\[ AC=AC_1+C_1C, \]
то есть
\[ \frac{AC_1}{AC}=\frac{3}{3+2}=\frac35. \]
Из подобия треугольников:
\[ \frac{B_1C_1}{BC}=\frac{AC_1}{AC}=\frac35. \]
Так как \(B_1C_1=5\text{ см}\), получаем:
\[ \frac{5}{BC}=\frac35. \]
Отсюда:
\[ BC=\frac{5\cdot5}{3}=\frac{25}{3}\text{ см} =8\frac13\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{BC=\frac{25}{3}\text{ см}=8\frac13\text{ см}}. \]
№ 32
Дано:
\[ AB\parallel CD,\qquad AB=8\text{ см}, \]
а точка \(K\) делит отрезок \(AM\) так, что
\[ AK:KM=3:1. \]
Построение точки \(F\)
Через точку \(K\) проведём прямую, параллельную \(AB\). Так как
\[ AB\parallel CD, \]
то эта же прямая параллельна \(CD\).
Она пересекает прямую \(MB\) в точке \(F\).
Почему точка \(F\) принадлежит плоскости \(DKC\)? Плоскость \(DKC\) содержит прямую \(CD\) и точку \(K\), поэтому она содержит и прямую, проведённую через \(K\) параллельно \(CD\). Следовательно, построенная точка \(F\) является точкой пересечения плоскости \(DKC\) и прямой \(MB\).
Нахождение \(KF\)
Рассмотрим треугольник \(MAB\). В нём:
\[ K\in AM,\qquad F\in MB,\qquad KF\parallel AB. \]
Поэтому треугольники \(MKF\) и \(MAB\) подобны.
Из отношения
\[ AK:KM=3:1 \]
следует:
\[ AM=AK+KM=3+1=4\text{ части}, \]
поэтому
\[ \frac{KM}{AM}=\frac14. \]
Из подобия:
\[ \frac{KF}{AB}=\frac{KM}{AM}=\frac14. \]
Тогда:
\[ KF=\frac14\cdot 8=2\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{KF=2\text{ см}}. \]
