Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(BC=15\)
- Наибольшая сторона \(BC=16\)
- \(AB=11\)
- \(AB=16\)
3
Сначала найдём третий угол:
\[ \angle C=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin120^\circ}=\frac{AC}{\sin30^\circ}. \]
Подставим \(AC=5\sqrt3\):
\[ BC=5\sqrt3\cdot\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =5\sqrt3\cdot\sqrt3=15. \]
4
По рисунку:
\[ \angle A=180^\circ-30^\circ-15^\circ=135^\circ. \]
Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла, значит это \(BC\).
Используем теорему синусов:
\[ \frac{BC}{\sin135^\circ}= \frac{AC}{\sin30^\circ}. \]
\[ BC=8\sqrt2\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=16. \]
Следовательно, наибольшая сторона — \(\boxed{BC=16}\).
5
Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C=30^\circ\). Формула:
\[ AB=2R\sin C. \]
\[ AB=2\cdot11\cdot\sin30^\circ =22\cdot\frac12=11. \]
6
Найдём угол \(C\):
\[ \angle C=180^\circ-21^\circ-24^\circ=135^\circ. \]
Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C\), поэтому:
\[ AB=2R\sin C. \]
\[ AB=2\cdot8\sqrt2\cdot\sin135^\circ =16\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=16. \]
Основной принцип: сторона треугольника связана с противолежащим углом теоремой синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R. \]
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни теорема синусов
Теорема синусов связывает стороны треугольника с противолежащими им углами.
Для треугольника \(ABC\):
- сторона \(BC=a\) лежит напротив угла \(A\);
- сторона \(CA=b\) — напротив угла \(B\);
- сторона \(AB=c\) — напротив угла \(C\).
Тогда
\[ \boxed{\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}} \]
Если известен радиус описанной окружности \(R\), то:
\[ \boxed{\frac{a}{\sin A}=2R} \]
или
\[ \boxed{a=2R\sin A}. \]
Как применять
- Определи, какой угол противолежит нужной стороне.
- Составь отношение стороны к синусу противолежащего угла.
- Подставь известные значения и реши пропорцию.
Пример из задания
Дано:
\[ AC=5\sqrt3,\qquad \angle A=120^\circ,\qquad \angle C=30^\circ. \]
Найти \(BC\). Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\), а \(AC\) — напротив угла \(B\). Но здесь \(B=30^\circ\), поэтому:
\[ \frac{BC}{\sin120^\circ} = \frac{AC}{\sin30^\circ}. \]
Подставим значения:
\[ \frac{BC}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{5\sqrt3}{\frac12}. \]
Или сразу:
\[ BC=5\sqrt3\cdot \frac{\sin120^\circ}{\sin30^\circ} = 5\sqrt3\cdot \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =15. \]
\[ \boxed{BC=15} \]
Главное: сторону всегда сопоставляем с синусом угла, который находится напротив этой стороны.
