Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{D=76} \]

Дан определитель: \[ D= \begin{vmatrix} -1&2&0&1\\ 2&0&1&-2\\ 1&1&-4&0\\ 3&2&2&1 \end{vmatrix}. \]

Занулим элементы первого столбца. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не изменяет определитель:

\[ R_2\leftarrow R_2+2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4+3R_1. \]

Получаем: \[ D= \begin{vmatrix} -1&2&0&1\\ 0&4&1&0\\ 0&3&-4&1\\ 0&8&2&4 \end{vmatrix}. \]

Раскладываем по первому столбцу: \[ D=(-1) \begin{vmatrix} 4&1&0\\ 3&-4&1\\ 8&2&4 \end{vmatrix}. \]

Вычислим определитель третьего порядка: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 4&1&0\\ 3&-4&1\\ 8&2&4 \end{vmatrix} &= 4 \begin{vmatrix} -4&1\\ 2&4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3&1\\ 8&4 \end{vmatrix}\\ &=4((-4)\cdot4-1\cdot2)-(3\cdot4-1\cdot8)\\ &=4(-18)-4=-76. \end{aligned} \]

Следовательно, \[ D=(-1)\cdot(-76)=\boxed{76}. \]

Проверка: при разложении исходного определителя по первой строке также получается \(21+74-19=76\).