47 реши
Вычисление корней и выражений
Мне нужно вычислить несколько значений: четвёртый корень из 16 равен 2, а шестой корень из 27 в квадрате упрощается до 3. Для кубического корня из 64 я получаю 2. При преобразовании отношений и корней я задумываюсь, не упускаю ли чего-нибудь. Для выражения, объединяющего различные корни, мне нужно убедиться, что оно записано понятно. После вычислений я получаю окончательный результат 0,5. Это интересный способ работать с корнями!
Вычисление уравнения
Я пытаюсь вычислить уравнение \( \frac{3}{2} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4.5} \). Сначала я вычисляю \( \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4.5} \), что упрощается до \( \sqrt[4]{18 \cdot \frac{9}{2}} \). Это даёт \( \sqrt[4]{81} \), что равно 3. Таким образом, всё вычисление сводится к \( \frac{3}{2} + 3 \), что мне нужно завершить.
Тщательное вычисление радикалов
Я выполняю ряд вычислений с различными корнями. При работе с последним радикалом я проявляю осторожность, поскольку умножение под корнями четвёртой степени требует внимания. Я подтверждаю положительность рассматриваемого выражения, чтобы избежать проблем. Я получаю упрощённые результаты для нескольких вопросов, например 14/5 для первого и 6 для второго. Я подробно описываю шаги, удостоверяясь, что каждый из них точен, например раскладывая кубические и четвёртые корни с соответствующими значениями.
Краткие ответы:
- \(\dfrac{14}{5}\);
- \(6\);
- \(3\);
- \(\dfrac12\);
- \(4\);
- \(4\).
Решение
Используем правила: \[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}. \]
1) \[ \frac{\sqrt[3]{49}\cdot\sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}} =\sqrt[3]{\frac{49\cdot112}{250}} =\sqrt[3]{\frac{2744}{125}} =\sqrt[3]{\left(\frac{14}{5}\right)^3} =\boxed{\frac{14}{5}}. \]
2) \[ \frac{\sqrt[4]{54}\cdot\sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}} =\sqrt[4]{\frac{54\cdot120}{5}} =\sqrt[4]{1296} =\sqrt[4]{6^4} =\boxed{6}. \]
3) \[ \frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} =\sqrt[4]{16}=2, \] \[ \sqrt[6]{27^2} =\sqrt[6]{(3^3)^2} =\sqrt[6]{3^6}=3, \] \[ \sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt4=2. \] Тогда \[ 2+3-2=\boxed{3}. \]
4) \[ \sqrt[3]{3\frac38} =\sqrt[3]{\frac{27}{8}} =\frac32, \] \[ \sqrt[4]{18}\cdot\sqrt[4]{4\frac12} =\sqrt[4]{18\cdot\frac92} =\sqrt[4]{81}=3, \] \[ \sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt{16}=4. \] Следовательно, \[ \frac32+3-4=\boxed{\frac12}. \]
5) Используем формулу \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\): \[ \sqrt[3]{11-\sqrt{57}}\cdot\sqrt[3]{11+\sqrt{57}} \] \[ =\sqrt[3]{(11-\sqrt{57})(11+\sqrt{57})} =\sqrt[3]{121-57} =\sqrt[3]{64} =\boxed{4}. \]
6) \[ \sqrt[4]{17-\sqrt{33}}\cdot\sqrt[4]{17+\sqrt{33}} \] \[ =\sqrt[4]{(17-\sqrt{33})(17+\sqrt{33})} =\sqrt[4]{17^2-33} =\sqrt[4]{256} =\boxed{4}. \]
Проверка основана на том, что \(6^4=1296\), \(4^4=256\), \(3^6=729=27^2\).
