Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- Взаимно простые числа: б) 29 и 34; г) 72 и 73.
- НОД \(=14\).
- а) \(2\); б) \(5\); в) \(102\); г) \(15\).
- \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), \(240=2^4\cdot3\cdot5\); \(1440\) больше \(240\) в 6 раз.
- \(m=1\) и \(m=2\).
1. Взаимно простые числа
Числа взаимно просты, если их НОД равен \(1\):
- \(\operatorname{НОД}(12,15)=3\) — не подходят;
- \(\operatorname{НОД}(29,34)=1\) — подходят;
- \(\operatorname{НОД}(25,30)=5\) — не подходят;
- \(\operatorname{НОД}(72,73)=1\) — подходят.
2. НОД по разложениям
\[ 2\cdot2\cdot5\cdot7 \quad\text{и}\quad 2\cdot7\cdot11. \]
Общие простые множители — \(2\) и \(7\). Берём их по одному разу:
\[ \operatorname{НОД}=2\cdot7=\boxed{14}. \]
3. Нахождение НОД
Разложим числа на простые множители и перемножим общие множители:
а)
\[
34=2\cdot17,\qquad 56=2^3\cdot7,
\]
\[
\operatorname{НОД}(34,56)=\boxed{2}.
\]
б)
\[
45=3^2\cdot5,\qquad 65=5\cdot13,
\]
\[
\operatorname{НОД}(45,65)=\boxed{5}.
\]
в)
\[
102=2\cdot3\cdot17,\qquad 204=2^2\cdot3\cdot17,
\]
\[
\operatorname{НОД}(102,204)=2\cdot3\cdot17=\boxed{102}.
\]
г)
\[
1005=3\cdot5\cdot67,\qquad 960=2^6\cdot3\cdot5,
\]
\[
\operatorname{НОД}(1005,960)=3\cdot5=\boxed{15}.
\]
4. Разложение на простые множители
\[ 1440=144\cdot10=2^4\cdot3^2\cdot2\cdot5 =\boxed{2^5\cdot3^2\cdot5}, \]
\[ 240=24\cdot10=2^3\cdot3\cdot2\cdot5 =\boxed{2^4\cdot3\cdot5}. \]
Найдём, во сколько раз одно число больше другого:
\[ 1440:240=\boxed{6}. \]
Проверка:
\[ 240\cdot6=1440. \]
5. Правильная дробь
Дана дробь:
\[ \frac{7m}{15}. \]
Так как дробь правильная,
\[ 7m<15. \]
При натуральном \(m\):
\[ m=1\quad\text{или}\quad m=2. \]
Проверим взаимную простоту:
\[ \operatorname{НОД}(7,15)=1, \]
\[ \operatorname{НОД}(14,15)=1. \]
Оба значения подходят:
\[ \boxed{m=1,\;2}. \]
