Реши задание на изображении

На изображении три задачи.

Краткие ответы

1. \[ v(0)=3\ \text{м/с},\qquad a(0)=0; \] \[ v(3)=4{,}62\ \text{м/с},\qquad a(3)=1{,}08\ \text{м/с}^2; \] \[ \langle v_x\rangle=3{,}54\ \text{м/с},\qquad \langle a_x\rangle=0{,}54\ \text{м/с}^2. \]

2. \[ v=4\sqrt2\approx5{,}66\ \text{м/с}, \qquad a_\tau=4\sqrt3\approx6{,}93\ \text{м/с}^2. \]

3. \[ a_\tau=5{,}76\ \text{м/с}^2, \] \[ a_n=122{,}412\ \text{м/с}^2, \] \[ a\approx122{,}55\ \text{м/с}^2. \]

1. Прямолинейное движение

Дано:

\[ x=At+Bt^3,\qquad A=3\ \text{м/с},\qquad B=0{,}06\ \text{м/с}^3. \]

Скорость — первая производная координаты:

\[ v_x=\frac{dx}{dt}=A+3Bt^2. \]

Ускорение — производная скорости:

\[ a_x=\frac{dv_x}{dt}=6Bt. \]

В момент \(t_1=0\)

\[ v_x(0)=3+3\cdot0{,}06\cdot0^2=3\ \text{м/с}, \]

\[ a_x(0)=6\cdot0{,}06\cdot0=0. \]

В момент \(t_2=3\ \text{с}\)

\[ v_x(3)=3+3\cdot0{,}06\cdot3^2 =3+1{,}62=4{,}62\ \text{м/с}, \]

\[ a_x(3)=6\cdot0{,}06\cdot3=1{,}08\ \text{м/с}^2. \]

Средняя скорость

За первые \(3\) секунды:

\[ x(3)=3\cdot3+0{,}06\cdot3^3 =9+1{,}62=10{,}62\ \text{м}. \]

Так как \(x(0)=0\),

\[ \langle v_x\rangle=\frac{x(3)-x(0)}{3} =\frac{10{,}62}{3}=3{,}54\ \text{м/с}. \]

Среднее ускорение

\[ \langle a_x\rangle= \frac{v_x(3)-v_x(0)}{3} =\frac{4{,}62-3}{3} =0{,}54\ \text{м/с}^2. \]

2. Движение по окружности

Дано:

\[ R=8\ \text{м},\qquad a_n=4\ \text{м/с}^2,\qquad \alpha=60^\circ. \]

Нормальное ускорение связано со скоростью формулой:

\[ a_n=\frac{v^2}{R}. \]

Отсюда:

\[ v=\sqrt{a_nR} =\sqrt{4\cdot8} =\sqrt{32}=4\sqrt2\approx5{,}66\ \text{м/с}. \]

Полное ускорение складывается из перпендикулярных составляющих \(a_n\) и \(a_\tau\). Из прямоугольного треугольника:

\[ \tan\alpha=\frac{a_\tau}{a_n}. \]

Следовательно,

\[ a_\tau=a_n\tan60^\circ =4\sqrt3\approx6{,}93\ \text{м/с}^2. \]

3. Движение по окружности с заданным углом

Дано:

\[ R=1{,}2\ \text{м},\qquad \varphi=At+Bt^3, \]

\[ A=0{,}5\ \text{рад/с},\qquad B=0{,}2\ \text{рад/с}^3,\qquad t=4\ \text{с}. \]

Угловая скорость:

\[ \omega=\frac{d\varphi}{dt}=A+3Bt^2. \]

При \(t=4\ \text{с}\):

\[ \omega=0{,}5+3\cdot0{,}2\cdot4^2 =0{,}5+9{,}6=10{,}1\ \text{рад/с}. \]

Угловое ускорение:

\[ \varepsilon=\frac{d\omega}{dt}=6Bt. \]

\[ \varepsilon=6\cdot0{,}2\cdot4=4{,}8\ \text{рад/с}^2. \]

Тангенциальное ускорение:

\[ a_\tau=R\varepsilon =1{,}2\cdot4{,}8 =5{,}76\ \text{м/с}^2. \]

Нормальное ускорение:

\[ a_n=R\omega^2 =1{,}2\cdot(10{,}1)^2 =122{,}412\ \text{м/с}^2. \]

Полное ускорение:

\[ a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2} =\sqrt{5{,}76^2+122{,}412^2} \approx122{,}55\ \text{м/с}^2. \]

Проверка: полное ускорение почти равно нормальному, потому что \(a_n\) значительно больше \(a_\tau\).