Конечно. Расписываю все действия для тех выражений, которые были решены выше.

Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем дробь на единицу:

\[ \frac{\sqrt a}{\sqrt a}=1. \]

Если в знаменателе сумма или разность, используем сопряжённое выражение:

\[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2. \]

---

4.15

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5} = \frac{5a\cdot\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \frac{5a\sqrt5}{5} = \boxed{a\sqrt5}. \]

2)

\[ \frac{3+3\sqrt a}{\sqrt a} = \frac{(3+3\sqrt a)\sqrt a}{\sqrt a\cdot\sqrt a}. \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ \frac{3\sqrt a+3a}{a} = \boxed{\frac{3a+3\sqrt a}{a}}. \]

3)

\[ \frac{15c}{\sqrt3} = \frac{15c\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3} = \frac{15c\sqrt3}{3} = \boxed{5c\sqrt3}. \]

4)

Сопряжённое к \(\sqrt5-1\) выражение — \(\sqrt5+1\):

\[ \frac{5a}{\sqrt5-1} = \frac{5a(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}. \]

В знаменателе разность квадратов:

\[ (\sqrt5-1)(\sqrt5+1)=5-1=4. \]

Поэтому

\[ \boxed{\frac{5a(\sqrt5+1)}4}. \]

5)

Сопряжённое к \(\sqrt5-\sqrt a\) выражение — \(\sqrt5+\sqrt a\):

\[ \frac{3a}{\sqrt5-\sqrt a} = \frac{3a(\sqrt5+\sqrt a)} {(\sqrt5-\sqrt a)(\sqrt5+\sqrt a)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt5)^2-(\sqrt a)^2=5-a. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{3a(\sqrt5+\sqrt a)}{5-a}}. \]

6)

\[ \frac7{\sqrt3+1} = \frac{7(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt3)^2-1^2=3-1=2. \]

Значит,

\[ \boxed{\frac{7(\sqrt3-1)}2}. \]

---

4.16

1)

\[ \frac{5-a}{1+\sqrt5} = \frac{(5-a)(\sqrt5-1)} {(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}. \]

В знаменателе:

\[ (1+\sqrt5)(\sqrt5-1)=5-1=4. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(5-a)(\sqrt5-1)}4}. \]

2)

\[ \frac{7a+\sqrt a}{2-\sqrt a} = \frac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)} {(2-\sqrt a)(2+\sqrt a)}. \]

Знаменатель:

\[ 2^2-(\sqrt a)^2=4-a. \]

Поэтому

\[ \boxed{\frac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)}{4-a}}. \]

3)

\[ \frac{1{,}5c}{c+\sqrt3} = \frac{1{,}5c(c-\sqrt3)} {(c+\sqrt3)(c-\sqrt3)}. \]

Знаменатель:

\[ c^2-(\sqrt3)^2=c^2-3. \]

Получаем:

\[ \boxed{\frac{1{,}5c(c-\sqrt3)}{c^2-3}}. \]

4)

\[ \frac{5c-1}{\sqrt{5c}-1} = \frac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)} {(\sqrt{5c}-1)(\sqrt{5c}+1)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt{5c})^2-1^2=5c-1. \]

Сокращаем \(5c-1\):

\[ \frac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)}{5c-1} = \boxed{\sqrt{5c}+1}. \]

5)

\[ \frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt a} = \frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)} {(\sqrt{5x}-\sqrt a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}. \]

В знаменателе:

\[ (\sqrt{5x})^2-(\sqrt a)^2=5x-a. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}{5x-a}}. \]

6)

\[ \frac{x-6}{\sqrt x+\sqrt{3x}} = \frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)} {(\sqrt x+\sqrt{3x})(\sqrt{3x}-\sqrt x)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt{3x})^2-(\sqrt x)^2=3x-x=2x. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)}{2x}}. \]

---

4.17

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5+2} = \frac{5a(\sqrt5-2)} {(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt5)^2-2^2=5-4=1. \]

Поэтому

\[ \boxed{5a(\sqrt5-2)}. \]

2)

\[ \frac{2+\sqrt a}{2\sqrt a} = \frac{(2+\sqrt a)\sqrt a}{2\sqrt a\cdot\sqrt a}. \]

Раскрываем скобки:

\[ \frac{2\sqrt a+a}{2a} = \boxed{\frac{a+2\sqrt a}{2a}}. \]

3)

\[ \frac{15c}{2-\sqrt3} = \frac{15c(2+\sqrt3)} {(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}. \]

Знаменатель:

\[ 2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1. \]

Значит,

\[ \boxed{15c(2+\sqrt3)}. \]

4)

\[ \frac{\sqrt5-8y}{7-\sqrt5} = \frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)} {(7-\sqrt5)(7+\sqrt5)}. \]

В знаменателе:

\[ 7^2-(\sqrt5)^2=49-5=44. \]

Получаем:

\[ \boxed{\frac{(\sqrt5-8y)(\sqrt5+7)}{44}}. \]

5)

\[ \frac{3\sqrt a-1}{\sqrt3-\sqrt a} = \frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)} {(\sqrt3-\sqrt a)(\sqrt3+\sqrt a)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt3)^2-(\sqrt a)^2=3-a. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)}{3-a}}. \]

6)

\[ \frac7{\sqrt7+\sqrt3} = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)} {(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)}. \]

Знаменатель:

\[ (\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2=7-3=4. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{7(\sqrt7-\sqrt3)}4}. \]

Во всех ответах корней в знаменателе больше нет.

Да, я неправильно переписал \(4.15\), № 5. Правильно ли выражение записано так?

\[ \frac{3a+\sqrt a}{\sqrt{5x}} \]

Понял. В 4.15 № 5 правильное выражение:

\[ \frac{3a+\sqrt a}{\sqrt{5x}-\sqrt a}. \]

Решаем все задания. Используем формулы:

\[ \frac{A}{\sqrt b}=\frac{A\sqrt b}{b}, \]

\[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2. \]

---

4.15

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5} = \frac{5a\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \frac{5a\sqrt5}{5} = \boxed{a\sqrt5}. \]

2)

\[ \frac{3+3\sqrt a}{\sqrt a} = \frac{(3+3\sqrt a)\sqrt a}{\sqrt a\cdot\sqrt a} \]

\[ = \frac{3\sqrt a+3a}{a} = \boxed{\frac{3a+3\sqrt a}{a}}. \]

3)

\[ \frac{15c}{\sqrt3} = \frac{15c\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3} = \frac{15c\sqrt3}{3} = \boxed{5c\sqrt3}. \]

4)

Умножаем на сопряжённое выражение \(\sqrt5+1\):

\[ \frac{5a}{\sqrt5-1} = \frac{5a(\sqrt5+1)} {(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}. \]

\[ (\sqrt5-1)(\sqrt5+1)=5-1=4. \]

Значит,

\[ \boxed{\frac{5a(\sqrt5+1)}4}. \]

5)

\[ \frac{3a+\sqrt a}{\sqrt{5x}-\sqrt a} = \frac{(3a+\sqrt a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)} {(\sqrt{5x}-\sqrt a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}. \]

В знаменателе:

\[ (\sqrt{5x})^2-(\sqrt a)^2=5x-a. \]

Поэтому

\[ \boxed{\frac{(3a+\sqrt a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}{5x-a}}. \]

6)

\[ \frac7{\sqrt3+1} = \frac{7(\sqrt3-1)} {(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}. \]

\[ (\sqrt3+1)(\sqrt3-1)=3-1=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{7(\sqrt3-1)}2}. \]

---

4.16

1)

\[ \frac{5-a}{1+\sqrt5} = \frac{(5-a)(\sqrt5-1)} {(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}. \]

\[ (1+\sqrt5)(\sqrt5-1)=5-1=4. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{(5-a)(\sqrt5-1)}4}. \]

2)

\[ \frac{7a+\sqrt a}{2-\sqrt a} = \frac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)} {(2-\sqrt a)(2+\sqrt a)}. \]

\[ (2-\sqrt a)(2+\sqrt a)=4-a. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)}{4-a}}. \]

3)

\[ \frac{1{,}5c}{c+\sqrt3} = \frac{1{,}5c(c-\sqrt3)} {(c+\sqrt3)(c-\sqrt3)}. \]

\[ (c+\sqrt3)(c-\sqrt3)=c^2-3. \]

Получаем:

\[ \boxed{\frac{1{,}5c(c-\sqrt3)}{c^2-3}}. \]

4)

\[ \frac{5c-1}{\sqrt{5c}-1} = \frac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)} {(\sqrt{5c}-1)(\sqrt{5c}+1)}. \]

\[ (\sqrt{5c}-1)(\sqrt{5c}+1)=5c-1. \]

Сокращаем:

\[ \frac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)}{5c-1} = \boxed{\sqrt{5c}+1}. \]

5)

\[ \frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt a} = \frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)} {(\sqrt{5x}-\sqrt a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}. \]

\[ (\sqrt{5x})^2-(\sqrt a)^2=5x-a. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}{5x-a}}. \]

6)

\[ \frac{x-6}{\sqrt x+\sqrt{3x}} = \frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)} {(\sqrt x+\sqrt{3x})(\sqrt{3x}-\sqrt x)}. \]

В знаменателе:

\[ (\sqrt{3x})^2-(\sqrt x)^2=3x-x=2x. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)}{2x}}. \]

---

4.17

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5+2} = \frac{5a(\sqrt5-2)} {(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}. \]

\[ (\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=5-4=1. \]

Поэтому

\[ \boxed{5a(\sqrt5-2)}. \]

2)

\[ \frac{2+\sqrt a}{2\sqrt a} = \frac{(2+\sqrt a)\sqrt a}{2\sqrt a\cdot\sqrt a} \]

\[ = \frac{2\sqrt a+a}{2a} = \boxed{\frac{a+2\sqrt a}{2a}}. \]

3)

\[ \frac{15c}{2-\sqrt3} = \frac{15c(2+\sqrt3)} {(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}. \]

\[ (2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1. \]

Значит,

\[ \boxed{15c(2+\sqrt3)}. \]

4)

\[ \frac{\sqrt5-8y}{7-\sqrt5} = \frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)} {(7-\sqrt5)(7+\sqrt5)}. \]

\[ (7-\sqrt5)(7+\sqrt5)=49-5=44. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)}{44}}. \]

5)

\[ \frac{3\sqrt a-1}{\sqrt3-\sqrt a} = \frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)} {(\sqrt3-\sqrt a)(\sqrt3+\sqrt a)}. \]

\[ (\sqrt3-\sqrt a)(\sqrt3+\sqrt a)=3-a. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)}{3-a}}. \]

6)

\[ \frac7{\sqrt7+\sqrt3} = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)} {(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)}. \]

\[ (\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)=7-3=4. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{7(\sqrt7-\sqrt3)}4}. \]

Во всех ответах корней в знаменателе не осталось.

Понял. Напиши, пожалуйста, полностью выражение из 4.15 № 6 или пришли его фото — какие именно цифры стоят в знаменателе? Тогда я сразу исправлю решение.

На фото в 4.15 № 6 записано:

\[ \frac{7}{1+\sqrt3}. \]

Это то же самое, что \(\frac{7}{\sqrt3+1}\), потому что слагаемые в сумме можно менять местами.

Решение:

\[ \frac{7}{1+\sqrt3}\cdot\frac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3} = \frac{7(1-\sqrt3)}{1-3} = \frac{7(1-\sqrt3)}{-2} = \boxed{\frac{7(\sqrt3-1)}2}. \]

Значит, ответ для № 6 был правильным.

Также уточню: на фото в 4.15 № 5 стоит

\[ \frac{3a}{\sqrt5-\sqrt a}, \]

а не \( \frac{3a+\sqrt a}{\sqrt{5x}-\sqrt a} \). Его правильное решение:

\[ \frac{3a}{\sqrt5-\sqrt a} = \frac{3a(\sqrt5+\sqrt a)}{5-a}. \]

Да, верно: здесь ничего не сокращаем. Мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[ \frac{7}{1+\sqrt3} = \frac{7(1-\sqrt3)} {(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}. \]

В знаменателе применяем формулу разности квадратов:

\[ (1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1^2-(\sqrt3)^2=1-3=-2. \]

Получаем:

\[ \frac{7(1-\sqrt3)}{-2} = \boxed{\frac{7(\sqrt3-1)}2}. \]

Здесь не было сокращения: мы только изменили знак в числителе и знаменателе.

Понял, ты про 4.17. В каком именно номере — 1, 2, 3, 4, 5 или 6 — нельзя сокращать? Напиши номер, и я перепишу решение без сокращений.

Понял: в 4.17 во всех номерах дроби не сокращаем. Только умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение или на \(\sqrt a\).

4.17

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5+2} = \frac{5a(\sqrt5-2)} {(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)} \]

\[ = \frac{5a(\sqrt5-2)} {(\sqrt5)^2-2^2} = \frac{5a(\sqrt5-2)}{5-4} \]

\[ = \frac{5a(\sqrt5-2)}1 = \boxed{5a(\sqrt5-2)}. \]

Здесь мы ничего не сокращали: просто получили знаменатель \(1\).

---

2)

\[ \frac{2+\sqrt a}{2\sqrt a} = \frac{(2+\sqrt a)\sqrt a} {2\sqrt a\cdot\sqrt a} \]

Раскрываем скобки:

\[ = \frac{2\sqrt a+(\sqrt a)^2} {2(\sqrt a)^2} = \frac{2\sqrt a+a}{2a} \]

Переставим слагаемые в числителе:

\[ \boxed{\frac{a+2\sqrt a}{2a}}. \]

---

3)

\[ \frac{15c}{2-\sqrt3} = \frac{15c(2+\sqrt3)} {(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)} \]

\[ = \frac{15c(2+\sqrt3)} {2^2-(\sqrt3)^2} = \frac{15c(2+\sqrt3)}{4-3} \]

\[ = \frac{15c(2+\sqrt3)}1 = \boxed{15c(2+\sqrt3)}. \]

Здесь также сокращения нет — знаменатель равен \(1\).

---

4)

\[ \frac{\sqrt5-8y}{7-\sqrt5} = \frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)} {(7-\sqrt5)(7+\sqrt5)} \]

\[ = \frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)} {7^2-(\sqrt5)^2} = \frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)}{49-5} \]

\[ = \boxed{\frac{(\sqrt5-8y)(7+\sqrt5)}{44}}. \]

---

5)

\[ \frac{3\sqrt a-1}{\sqrt3-\sqrt a} = \frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)} {(\sqrt3-\sqrt a)(\sqrt3+\sqrt a)} \]

\[ = \frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)} {(\sqrt3)^2-(\sqrt a)^2} \]

\[ = \boxed{\frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)}{3-a}}. \]

---

6)

\[ \frac7{\sqrt7+\sqrt3} = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)} {(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)} \]

\[ = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)} {(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2} = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3} \]

\[ = \boxed{\frac{7(\sqrt7-\sqrt3)}4}. \]

Во всех решениях мы не сокращали дроби, а только умножали числитель и знаменатель на одно и то же выражение.

Понял: в № 4 нужно поменять местами числа \(5\) и \(7\) и в числителе, и в знаменателе. Тогда выражение:

\[ \frac{\sqrt7-8y}{5-\sqrt7}. \]

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(5+\sqrt7\):

\[ \frac{\sqrt7-8y}{5-\sqrt7} = \frac{(\sqrt7-8y)(5+\sqrt7)} {(5-\sqrt7)(5+\sqrt7)}. \]

В знаменателе:

\[ (5-\sqrt7)(5+\sqrt7)=5^2-(\sqrt7)^2=25-7=18. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{(\sqrt7-8y)(5+\sqrt7)}{18}}. \]

Да, теперь фото читается чётко. Вы правы — я несколько раз неверно переписал условие. Ниже переписываю точно по фото и решаю 4.15–4.17.

Используем:

\[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2. \]

В 4.17 нигде не сокращаем.

---

4.15

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5} = \frac{5a\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5} = \frac{5a\sqrt5}{5} = \boxed{a\sqrt5}. \]

2)

\[ \frac{3+3\sqrt a}{\sqrt a} = \frac{(3+3\sqrt a)\sqrt a}{\sqrt a\cdot\sqrt a} \]

\[ = \frac{3\sqrt a+3a}{a} = \boxed{\frac{3a+3\sqrt a}{a}}. \]

3)

\[ \frac{15c}{\sqrt3} = \frac{15c\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3} = \frac{15c\sqrt3}{3} = \boxed{5c\sqrt3}. \]

4)

\[ \frac{5a}{\sqrt5-1} = \frac{5a(\sqrt5+1)} {(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)} \]

\[ = \frac{5a(\sqrt5+1)}{5-1} = \boxed{\frac{5a(\sqrt5+1)}4}. \]

5)

По фото:

\[ \frac{3a}{\sqrt5-\sqrt a}. \]

Умножаем на сопряжённое выражение:

\[ \frac{3a}{\sqrt5-\sqrt a} = \frac{3a(\sqrt5+\sqrt a)} {(\sqrt5-\sqrt a)(\sqrt5+\sqrt a)} \]

\[ = \frac{3a(\sqrt5+\sqrt a)}{5-a}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{3a(\sqrt5+\sqrt a)}{5-a}}. \]

6)

\[ \frac7{1+\sqrt3} = \frac{7(1-\sqrt3)} {(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)} \]

\[ = \frac{7(1-\sqrt3)}{1-3} = \frac{7(1-\sqrt3)}{-2} = \boxed{\frac{7(\sqrt3-1)}2}. \]

---

4.16

1)

\[ \frac{5-a}{1+\sqrt5} = \frac{(5-a)(\sqrt5-1)} {(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)} \]

\[ = \frac{(5-a)(\sqrt5-1)}{5-1} = \boxed{\frac{(5-a)(\sqrt5-1)}4}. \]

2)

\[ \frac{7a+\sqrt a}{2-\sqrt a} = \frac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)} {(2-\sqrt a)(2+\sqrt a)} \]

\[ = \boxed{\frac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)}{4-a}}. \]

3)

\[ \frac{1{,}5c}{\sqrt3+c} = \frac{1{,}5c(c-\sqrt3)} {(\sqrt3+c)(c-\sqrt3)} \]

\[ = \frac{1{,}5c(c-\sqrt3)}{c^2-3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{1{,}5c(c-\sqrt3)}{c^2-3}}. \]

4)

\[ \frac{5c-1}{\sqrt{5c}-1} = \frac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)} {(\sqrt{5c}-1)(\sqrt{5c}+1)} \]

\[ = \frac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)}{5c-1} = \boxed{\sqrt{5c}+1}. \]

5)

\[ \frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt a} = \frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)} {(\sqrt{5x}-\sqrt a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)} \]

\[ = \boxed{\frac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}{5x-a}}. \]

6)

\[ \frac{x-6}{\sqrt x+\sqrt{3x}} = \frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)} {(\sqrt x+\sqrt{3x})(\sqrt{3x}-\sqrt x)} \]

\[ = \frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)}{3x-x} = \boxed{\frac{(x-6)(\sqrt{3x}-\sqrt x)}{2x}}. \]

---

4.17

1)

\[ \frac{5a}{\sqrt5+2} = \frac{5a(\sqrt5-2)} {(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)} \]

\[ = \frac{5a(\sqrt5-2)}{5-4} = \frac{5a(\sqrt5-2)}1 = \boxed{5a(\sqrt5-2)}. \]

2)

\[ \frac{2+\sqrt a}{2\sqrt a} = \frac{(2+\sqrt a)\sqrt a} {2\sqrt a\cdot\sqrt a} \]

\[ = \frac{2\sqrt a+a}{2a} = \boxed{\frac{a+2\sqrt a}{2a}}. \]

3)

\[ \frac{15c}{2-\sqrt3} = \frac{15c(2+\sqrt3)} {(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)} \]

\[ = \frac{15c(2+\sqrt3)}{4-3} = \frac{15c(2+\sqrt3)}1 = \boxed{15c(2+\sqrt3)}. \]

4)

По фото здесь:

\[ \frac{8y-\sqrt5}{\sqrt5-7}. \]

Умножаем на сопряжённое выражение \(\sqrt5+7\):

\[ \frac{8y-\sqrt5}{\sqrt5-7} = \frac{(8y-\sqrt5)(\sqrt5+7)} {(\sqrt5-7)(\sqrt5+7)} \]

\[ = \frac{(8y-\sqrt5)(\sqrt5+7)}{5-49} = \frac{(8y-\sqrt5)(\sqrt5+7)}{-44}. \]

Меняем знаки в числителе и знаменателе:

\[ \boxed{\frac{(\sqrt5-8y)(\sqrt5+7)}{44}}. \]

5)

\[ \frac{3\sqrt a-1}{\sqrt3-\sqrt a} = \frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)} {(\sqrt3-\sqrt a)(\sqrt3+\sqrt a)} \]

\[ = \boxed{\frac{(3\sqrt a-1)(\sqrt3+\sqrt a)}{3-a}}. \]

6)

\[ \frac7{\sqrt7+\sqrt3} = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)} {(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)} \]

\[ = \frac{7(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3} = \boxed{\frac{7(\sqrt7-\sqrt3)}4}. \]

Теперь в 4.17 № 4 точно стоят \(8y-\sqrt5\) в числителе и \(\sqrt5-7\) в знаменателе.