Решить с объяснением задачу 88
Краткий ответ: биссектрисы двух вертикальных углов являются противоположными лучами и поэтому лежат на одной прямой.
Доказательство.
Пусть прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Рассмотрим вертикальные углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\).
Пусть \(OE\) — биссектриса угла \(\angle AOB\). Тогда
\[ \angle AOE=\angle EOB. \]
Продолжим луч \(OE\) через точку \(O\) и получим противоположный ему луч \(OF\).
Так как вертикальные углы равны, то
\[ \angle COF=\angle AOE, \qquad \angle FOD=\angle EOB. \]
Следовательно,
\[ \angle COF=\angle FOD. \]
Значит, луч \(OF\) делит угол \(\angle COD\) пополам, то есть является его биссектрисой.
Лучы \(OE\) и \(OF\) — противоположные, поэтому они лежат на одной прямой. Значит, биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Проверка: биссектрисы направлены в противоположные стороны, а противоположные лучи образуют развернутый угол \(180^\circ\).
Обсуждение
8 сообщенийПокажи доказательство для 7 класса
Конечно. Вот доказательство проще, на уровне 7 класса.
Дано: две прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
\(OE\) и \(OF\) — биссектрисы вертикальных углов \(\angle AOB\) и \(\angle COD\).
Доказать: лучи \(OE\) и \(OF\) являются противоположными, то есть лежат на одной прямой.
Доказательство
Вертикальные углы равны:
\[ \angle AOB=\angle COD. \]
Пусть каждая половина этих углов равна \(x\). Тогда по свойству биссектрисы:
\[ \angle EOB=\angle COF=x. \]
Так как лучи \(OA\) и \(OC\) являются противоположными, углы \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) в сумме дают \(180^\circ\).
Угол \(\angle AOB=2x\), поэтому
\[ \angle BOC=180^\circ-2x. \]
Рассмотрим угол \(\angle EOF\):
\[ \angle EOF=\angle EOB+\angle BOC+\angle COF. \]
Подставим значения:
\[ \angle EOF=x+(180^\circ-2x)+x=180^\circ. \]
Значит, лучи \(OE\) и \(OF\) образуют развернутый угол, то есть являются противоположными лучами.
Следовательно, биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Ещё проще объясни
Пусть две прямые пересекаются и образуют вертикальные углы.
- Биссектриса одного угла делит его пополам.
- Продлим эту биссектрису через точку пересечения прямых.
- Получившийся луч разделит противоположный вертикальный угол тоже на две равные части, потому что стороны вертикальных углов направлены противоположно.
- Значит, этот луч — биссектриса второго угла.
Получается, что две биссектрисы направлены в разные стороны по одной прямой. Поэтому они являются противоположными лучами и лежат на одной прямой.
Объясни проще с доказательствами
Конечно. Давай докажем по шагам и без сложных слов.
Пусть две прямые пересекаются в точке \(O\). Луч \(OE\) — биссектриса верхнего угла, а \(OF\) — биссектриса противоположного угла.
Обозначим половину верхнего угла буквой \(x\).
Доказательство
- Так как \(OE\) — биссектриса, она делит верхний угол на две равные части:
\[ \angle AOE=\angle EOB=x. \]
Значит, весь верхний угол равен:
\[ \angle AOB=2x. \]
- Противоположные углы равны, поэтому нижний угол тоже равен \(2x\).
Так как \(OF\) — его биссектриса, то:
\[ \angle COF=\angle FOD=x. \]
- Верхний и соседний угол вместе составляют \(180^\circ\). Поэтому:
\[ \angle BOC=180^\circ-2x. \]
- Теперь найдём угол между биссектрисами \(OE\) и \(OF\):
\[ \angle EOF=\angle EOB+\angle BOC+\angle COF. \]
Подставим значения:
\[ \angle EOF=x+(180^\circ-2x)+x=180^\circ. \]
Угол \(180^\circ\) — это развёрнутый угол. Значит, лучи \(OE\) и \(OF\) направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой.
Ответ: биссектрисы вертикальных углов являются противоположными лучами.
Без х доказательство
Конечно. Вот доказательство без обозначения \(x\).
Пусть \(OE\) — биссектриса угла \(\angle AOB\), а \(OF\) — биссектриса вертикального ему угла \(\angle COD\).
Продолжим луч \(OE\) через точку \(O\) и получим противоположный луч \(OG\).
Так как \(OE\) — биссектриса, то
\[ \angle AOE=\angle EOB. \]
- Углы \(\angle AOE\) и \(\angle COG\) — вертикальные, поэтому они равны:
\[ \angle AOE=\angle COG. \]
Углы \(\angle EOB\) и \(\angle GOD\) тоже вертикальные:
\[ \angle EOB=\angle GOD. \]
Следовательно,
\[ \angle COG=\angle GOD. \]
Значит, луч \(OG\) — биссектриса угла \(\angle COD\).
- Но \(OF\) — тоже биссектриса угла \(\angle COD\). У одного угла биссектриса только одна, поэтому лучи \(OF\) и \(OG\) совпадают.
А лучи \(OE\) и \(OG\) — противоположные. Значит, \(OE\) и \(OF\) являются противоположными лучами и лежат на одной прямой.
Что доказали: биссектрисы вертикальных углов являются продолжениями одна другой.
