Реши задание на изображении
Рассмотрение подхода к построению графика
Мне нужно подумать о том, как построить график. Я планирую нанести точки вроде (-4, -8), (-3, -9/2) и так далее. Я хочу убедиться, что соединяю эти точки плавно, чтобы образовать параболу. Крайне важно, чтобы кривая была хорошо представлена, поэтому я сосредоточусь на том, чтобы график выглядел аккуратно и понятно. Хорошо, давайте построим его точно — это определённо поможет лучше визуализировать функцию!
Краткий ответ: дана функция
\[
y=-\frac12x^2.
\]
Заполненная таблица
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&-8&-\frac92&-2&-\frac12&0&-\frac12&-2&-\frac92&-8 \end{array} \]
Как вычислять значения
Подставляем значение \(x\) в формулу:
\[ y=-\frac12x^2. \]
Например, при \(x=-4\):
\[ y=-\frac12\cdot(-4)^2 =-\frac12\cdot16=-8. \]
Важно: сначала возводим \(x\) в квадрат, поэтому значения для противоположных чисел одинаковы:
\[ f(-x)=f(x). \]
Точки для построения графика:
\[ (-4;-8),\;(-3;-\tfrac92),\;(-2;-2),\;(-1;-\tfrac12),\;(0;0), \] \[ (1;-\tfrac12),\;(2;-2),\;(3;-\tfrac92),\;(4;-8). \]
Соединив их плавной линией, получим параболу с ветвями, направленными вниз.
Свойства функции
- Область определения:
\[ x\in\mathbb R. \] - Область значений:
\[ y\le 0. \] - Вершина параболы:
\[ O(0;0). \] - Ось симметрии: \(Oy\), то есть \(x=0\).
- Функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\).
- Наибольшее значение: \(y_{\max}=0\) при \(x=0\).
- Нулевое значение функция принимает только при \(x=0\).
- Так как \(a=-\frac12<0\), ветви параболы направлены вниз.
Проверка: значения симметричны относительно оси \(Oy\), поэтому таблица заполнена верно.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как построить параболу по этим точкам
Построим график функции
\[
y=-\frac12x^2.
\]
1. Проведи координатные оси
- горизонтальная ось — \(Ox\);
- вертикальная ось — \(Oy\).
Так как все значения \(y\le 0\), парабола будет расположена ниже оси \(Ox\).
2. Отметь вершину
При \(x=0\):
\[ y=-\frac12\cdot0^2=0. \]
Получаем вершину параболы:
\[ (0;0). \]
3. Нанеси остальные точки
| \(x\) | \(y\) | Точка |
|---|---|---|
| \(-4\) | \(-8\) | \((-4;-8)\) |
| \(-3\) | \(-4{,}5\) | \((-3;-4{,}5)\) |
| \(-2\) | \(-2\) | \((-2;-2)\) |
| \(-1\) | \(-0{,}5\) | \((-1;-0{,}5)\) |
| \(0\) | \(0\) | \((0;0)\) |
| \(1\) | \(-0{,}5\) | \((1;-0{,}5)\) |
| \(2\) | \(-2\) | \((2;-2)\) |
| \(3\) | \(-4{,}5\) | \((3;-4{,}5)\) |
| \(4\) | \(-8\) | \((4;-8)\) |
Например:
- от начала координат вправо на \(1\) и вниз на \(0{,}5\) — точка \((1;-0{,}5)\);
- вправо на \(2\) и вниз на \(2\) — точка \((2;-2)\);
- вправо на \(4\) и вниз на \(8\) — точка \((4;-8)\).
Левые точки расположены симметрично правым:
\[ (-1;-0{,}5)\leftrightarrow(1;-0{,}5). \]
4. Соедини точки
Соедини отмеченные точки плавной линией, не отрезками. Получится парабола с вершиной в точке \((0;0)\), ветви которой направлены вниз:
y
↑
● (0;0)
╱ ╲
● ●
╱ ╲
● ●
╱ ╲
● ●
────────────────────────────────────→ x
Ось симметрии параболы — ось \(Oy\), то есть прямая \(x=0\).
