реши реши
Анализ свойств квадратичной функции
Мне нужно рассмотреть функцию \(y=-\frac{1}{2}x^2\) и её свойства. Область определения — все действительные числа, а область значений простирается от отрицательной бесконечности до нуля. Вершина находится в точке \((0,0)\), ветви направлены вниз, поскольку \(a=-\frac{1}{2}<0\). Функция чётная и симметрична относительно оси \(y\). При построении точек я отмечу, что она возрастает на \((-\infty,0)\) и убывает на \((0,\infty)\). Максимум равен \(y=0\) при \(x=0\). Также следует проверить способ построения графика.
Построение графика
Мне нужно дать краткий ответ с основными шагами для функции \(y=-\frac{1}{2}x^2\). Следует включить таблицу и объяснить свойства. График представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке \((0,0)\). Я вычислю точки для значений \(x\) от \(-4\) до \(4\) и отмечу, что значения \(y\) симметричны, что происходит из-за квадрата переменной. Итоговый ответ должен показать, как построить график по таблице, на русском языке.
Покажи, как построить график по этой таблице.
Описание свойств кривой
Я сосредоточусь на свойствах функции для построения графика и плавной кривой. Область определения — все действительные числа, а область значений — от отрицательной бесконечности до нуля. Ветви направлены вниз, вершина находится в начале координат, график симметричен относительно оси \(y\). Функция возрастает на промежутке от отрицательной бесконечности до нуля и убывает от нуля и далее. Максимальное значение равно нулю в вершине.
Я напишу объяснение на русском языке, упомянув вершину и проверку симметрии, например: «при \(x=0\), \(y=0\)».
Краткий ответ: для функции
\[
y=-\frac12x^2
\]
получаем таблицу:
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-8\) | \(-\frac92\) | \(-2\) | \(-\frac12\) | \(0\) | \(-\frac12\) | \(-2\) | \(-\frac92\) | \(-8\) |
График — парабола с вершиной \(O(0;0)\), направленная ветвями вниз.
Как получили значения
Подставляем каждое значение \(x\) в формулу:
\[ y=-\frac12x^2. \]
Например:
\[ y(-4)=-\frac12\cdot(-4)^2 =-\frac12\cdot16=-8; \]
\[ y(3)=-\frac12\cdot3^2 =-\frac12\cdot9=-\frac92. \]
Координаты точек для построения:
\[ (-4;-8),\; \left(-3;-\frac92\right),\;(-2;-2),\; \left(-1;-\frac12\right),\;(0;0), \]
\[ \left(1;-\frac12\right),\;(2;-2),\; \left(3;-\frac92\right),\;(4;-8). \]
Отметь эти точки на координатной плоскости и соедини плавной линией.
Свойства функции
- Область определения:
\[ x\in\mathbb R. \] - Область значений:
\[ y\le 0,\qquad y\in(-\infty;0]. \] - Вершина параболы:
\[ (0;0). \] - Ось симметрии:
\[ x=0, \] то есть ось \(Oy\). - Так как \(a=-\frac12<0\), ветви параболы направлены вниз.
- Наибольшее значение функции — \(0\), оно достигается при \(x=0\).
- Функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\).
- Нуль функции:
\[ x=0. \]
Проверка: значения при противоположных \(x\) совпадают:
\[ f(-x)=f(x), \]
например \(f(-2)=f(2)=-2\). Поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).
