118 номер

Краткий ответ

1. \(x<6\);
2. \(x\ge 4\);
3. \(x\le 9\);
4. \(x\le 0\);
5. \(x>-\frac27\);
6. \(x<-\frac23\);
7. \(x>-3\);
8. \(x\le 3\);
9. \(x\le 6\);
10. \(x<-\frac{11}{9}\);
11. \(x\le-\frac15\);
12. \(x>-1\).

Решение

Главное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.

1. \(5x<30\)

\[ x<6. \]

2. \(-4x\le-16\)

Делим на \(-4\), знак меняется:

\[ x\ge4. \]

3. \(\frac23x\le6\)

\[ x\le 6\cdot\frac32=9. \]

4. \(-12x\ge0\)

Делим на \(-12\):

\[ x\le0. \]

5. \(-3x<\frac67\)

\[ x>\frac67:(-3)=-\frac27. \]

6. \(-2\frac13x>1\frac59\)

Преобразуем смешанные числа:

\[ -\frac73x>\frac{14}{9}. \]

Делим на \(-\frac73\), знак меняется:

\[ x<\frac{14}{9}\cdot\left(-\frac37\right)=-\frac23. \]

7. \(4x+5>-7\)

\[ 4x>-12,\qquad x>-3. \]

8. \(9-x\ge2x\)

\[ 9\ge3x,\qquad x\le3. \]

9. \(13-6x\ge-23\)

\[ -6x\ge-36,\qquad x\le6. \]

10. \(5-9x>16\)

\[ -9x>11,\qquad x<-\frac{11}{9}. \]

11. \(3x+2\le-7x\)

\[ 10x\le-2,\qquad x\le-\frac15. \]

12. \(\frac{x-3}{4}>-1\)

Умножаем на положительное число \(4\), знак не меняется:

\[ x-3>-4,\qquad x>-1. \]

Проверка: в пунктах со строгими знаками граничное значение не входит в ответ, а со знаками \(\le\) или \(\ge\) входит. Например, в пункте 8 при \(x=3\) получается \(6\ge6\), поэтому \(3\) включается.