80,81

Краткий ответ

80.

• а) \(\displaystyle \frac{a+b+c}{abc}\)
• б) \(\displaystyle b-a\)
• в) \(\displaystyle 0\)
• г) \(\displaystyle \frac{a}{b}\)

81.

• а) \(\displaystyle \frac{z-y}{yz}\)
• б) \(\displaystyle \frac{a^2-b^2}{3ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{3ab}\)
• в) \(\displaystyle -\frac{p^2+q^2}{p^3q^3}\)
• г) \(\displaystyle \frac{9m-8n}{6mn^2}\)

Везде знаменатели считаются ненулевыми.

Ключевой принцип

Приводим дроби к общему знаменателю, домножая числитель каждой дроби на недостающий множитель.

80

а) Общий знаменатель — \(abc\):

\[ \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} =\frac{c+b+a}{abc} =\frac{a+b+c}{abc}. \]

б) Общий знаменатель — \(ab\):

\[ \begin{aligned} &\frac{ab-b}{a}-\frac{ab-a}{b}-\frac{a^2-b^2}{ab}\\ &=\frac{b(ab-b)-a(ab-a)-(a^2-b^2)}{ab}\\ &=\frac{ab^2-b^2-a^2b+a^2-a^2+b^2}{ab}\\ &=\frac{ab(b-a)}{ab}=b-a. \end{aligned} \]

в) Общий знаменатель — \(abc\):

\[ \begin{aligned} \frac{b-a}{ab}+\frac{c-b}{bc}-\frac{c-a}{ac} &=\frac{c(b-a)+a(c-b)-b(c-a)}{abc}\\ &=\frac{cb-ca+ac-ab-bc+ab}{abc}=0. \end{aligned} \]

г) Общий знаменатель — \(ab\):

\[ \begin{aligned} \frac{3ab+2b^2}{ab}-\frac{a+2b}{a}+\frac{a-2b}{b} &=\frac{3ab+2b^2-b(a+2b)+a(a-2b)}{ab}\\ &=\frac{a^2}{ab}=\frac ab. \end{aligned} \]

81

а) Общий знаменатель — \(xyz\):

\[ \begin{aligned} \frac{x-y}{xy}-\frac{x-z}{xz} &=\frac{z(x-y)-y(x-z)}{xyz}\\ &=\frac{xz-xy}{xyz} =\frac{x(z-y)}{xyz} =\frac{z-y}{yz}. \end{aligned} \]

б) Общий знаменатель — \(3ab\):

\[ \begin{aligned} \frac{a-2b}{3b}-\frac{b-2a}{3a} &=\frac{a(a-2b)-b(b-2a)}{3ab}\\ &=\frac{a^2-2ab-b^2+2ab}{3ab}\\ &=\frac{a^2-b^2}{3ab}. \end{aligned} \]

в) Общий знаменатель — \(p^3q^3\):

\[ \begin{aligned} \frac{p-q}{p^3q^2}-\frac{p+q}{p^2q^3} &=\frac{q(p-q)-p(p+q)}{p^3q^3}\\ &=\frac{pq-q^2-p^2-pq}{p^3q^3}\\ &=-\frac{p^2+q^2}{p^3q^3}. \end{aligned} \]

г) Общий знаменатель — \(6mn^2\):

\[ \begin{aligned} \frac{3m-n}{3mn^2}-\frac{2n-m}{2mn^2} &=\frac{2(3m-n)-3(2n-m)}{6mn^2}\\ &=\frac{6m-2n-6n+3m}{6mn^2}\\ &=\frac{9m-8n}{6mn^2}. \end{aligned} \]