60 номер

Ответ:

а) \((x;y)=(16;15)\), \((-15;-16)\);

б) \((x;y)=(8;1)\), \((4;-7)\).

Решение

а)

Из первого уравнения:

\[ x-y=1 \Rightarrow x=y+1. \]

Подставим во второе уравнение:

\[ y(y+1)=240, \]

\[ y^2+y-240=0. \]

Находим корни:

\[ D=1+960=961=31^2, \]

\[ y_1=\frac{-1+31}{2}=15,\qquad y_2=\frac{-1-31}{2}=-16. \]

Тогда:

• если \(y=15\), то \(x=16\);
• если \(y=-16\), то \(x=-15\).

Получаем:

\[ \boxed{(16;15),\;(-15;-16)}. \]

Проверка: \(16-15=1,\;16\cdot15=240\);
\(-15-(-16)=1,\;(-15)(-16)=240\).

б)

Из второго уравнения:

\[ 2x-y=15 \Rightarrow y=2x-15. \]

Подставим в первое:

\[ x^2+(2x-15)^2=65. \]

\[ x^2+4x^2-60x+225=65, \]

\[ 5x^2-60x+160=0, \]

\[ x^2-12x+32=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x-4)(x-8)=0. \]

Значит,

\[ x_1=4,\qquad x_2=8. \]

Находим \(y\):

• при \(x=4\): \(y=2\cdot4-15=-7\);
• при \(x=8\): \(y=2\cdot8-15=1\).

Следовательно,

\[ \boxed{(4;-7),\;(8;1)}. \]

Проверка: \(4^2+(-7)^2=65\), \(2\cdot4-(-7)=15\);
\(8^2+1^2=65\), \(2\cdot8-1=15\).

Главный принцип: выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение.