Реши задача разложить на множители

7.27 а)
\[ \sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6. \]

Представим четвёртый корень через восьмой:

\[ \sqrt[4]{m}=\left(\sqrt[8]{m}\right)^2. \]

Обозначим \(\sqrt[8]{m}=x\). Тогда:

\[ x^2-x-6. \]

Разложим квадратный трёхчлен:

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]

Возвращаемся к \(m\):

\[ \boxed{\sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6= \left(\sqrt[8]{m}-3\right)\left(\sqrt[8]{m}+2\right)}. \]

Разберём подробно выражение:

\[ \sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6. \]

Нужно представить его в виде произведения множителей.

1. Приведём корни к одной переменной

В выражении есть корни четвёртой и восьмой степени. Удобно обозначить:

\[ x=\sqrt[8]{m}. \]

Тогда:

\[ \sqrt[8]{m}=x. \]

Выразим через \(x\) корень четвёртой степени:

\[ \sqrt[4]{m}=\left(\sqrt[8]{m}\right)^2=x^2. \]

Почему так?

\[ \left(\sqrt[8]{m}\right)^2 =\left(m^{\frac18}\right)^2 =m^{\frac28} =m^{\frac14} =\sqrt[4]{m}. \]

Поэтому исходное выражение превращается в:

\[ x^2-x-6. \]

2. Разложим квадратный трёхчлен

Нужно разложить:

\[ x^2-x-6. \]

Найдём два числа, которые:

• при умножении дают \(-6\);
• при сложении дают \(-1\).

Это числа \(-3\) и \(2\), потому что:

\[ (-3)\cdot 2=-6, \]

\[ (-3)+2=-1. \]

Значит,

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]

Можно проверить раскрытием скобок:

\[ (x-3)(x+2) =x^2+2x-3x-6 =x^2-x-6. \]

3. Вернёмся к \(m\)

Мы обозначили:

\[ x=\sqrt[8]{m}. \]

Подставляем это значение вместо \(x\):

\[ (x-3)(x+2) = \left(\sqrt[8]{m}-3\right) \left(\sqrt[8]{m}+2\right). \]

Ответ

\[ \boxed{ \sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6 = \left(\sqrt[8]{m}-3\right) \left(\sqrt[8]{m}+2\right) } \]

Проверка:

\[ \left(\sqrt[8]{m}-3\right) \left(\sqrt[8]{m}+2\right) = \sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6. \]

\[ \sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6=(\sqrt[8]{m})^2-\sqrt[8]{m}-6=(\sqrt[8]{m}-3)(\sqrt[8]{m}+2). \]

Задание 7.27: разложение на множители, каждое решение — в одну строку.

\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&\sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6=(\sqrt[8]{m})^2-\sqrt[8]{m}-6=(\sqrt[8]{m}-3)(\sqrt[8]{m}+2);\\[2mm] \text{б)}\;&\sqrt m+5\sqrt[4]{m}+6=(\sqrt[4]{m})^2+5\sqrt[4]{m}+6=(\sqrt[4]{m}+2)(\sqrt[4]{m}+3);\\[2mm] \text{в)}\;&\sqrt[5]{a}+7\sqrt[10]{a}+12=(\sqrt[10]{a})^2+7\sqrt[10]{a}+12=(\sqrt[10]{a}+3)(\sqrt[10]{a}+4);\\[2mm] \text{г)}\;&2\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-1=2(\sqrt[6]{x})^2-\sqrt[6]{x}-1=(2\sqrt[6]{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1). \end{aligned} \]