414,415
Краткий ответ
414.
а) \(-\sqrt3\);
б) \(7\sqrt2\);
в) \(3\sqrt2\);
г) \(\sqrt3\);
д) \(2\sqrt2\).
415.
а) \(4\sqrt{2p}\);
б) \(-\sqrt{10c}\);
в) \(-5\sqrt{3m}\);
г) \(6\sqrt6\);
д) \(-3\sqrt2\);
е) \(3\sqrt2\).
Ключевой принцип
Выносим из-под корня полный квадрат:
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b, \]
а затем складываем коэффициенты у одинаковых корней.
Упражнение 414
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300}\\ &=5\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\\ &=-\sqrt3; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{б)}\quad &3\sqrt8-\sqrt{50}+2\sqrt{18}\\ &=3\cdot2\sqrt2-5\sqrt2+2\cdot3\sqrt2\\ &=6\sqrt2-5\sqrt2+6\sqrt2=7\sqrt2; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{в)}\quad &\sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt8\\ &=11\sqrt2-10\sqrt2+2\sqrt2\\ &=3\sqrt2; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{г)}\quad &\sqrt{75}-0{,}1\sqrt{300}-\sqrt{27}\\ &=5\sqrt3-0{,}1\cdot10\sqrt3-3\sqrt3\\ &=5\sqrt3-\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{д)}\quad &\sqrt{98}-\sqrt{72}+0{,}5\sqrt8\\ &=7\sqrt2-6\sqrt2+0{,}5\cdot2\sqrt2\\ &=7\sqrt2-6\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2. \end{aligned} \]
Упражнение 415
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p}\\ &=2\sqrt{2p}-\sqrt{2p}+3\sqrt{2p}\\ &=4\sqrt{2p}; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{б)}\quad &\sqrt{160c}+2\sqrt{40c}-3\sqrt{90c}\\ &=4\sqrt{10c}+4\sqrt{10c}-9\sqrt{10c}\\ &=-\sqrt{10c}; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{в)}\quad &5\sqrt{27m}-4\sqrt{48m}-2\sqrt{12m}\\ &=15\sqrt{3m}-16\sqrt{3m}-4\sqrt{3m}\\ &=-5\sqrt{3m}; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{г)}\quad &\sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{150}\\ &=3\sqrt6-2\sqrt6+5\sqrt6\\ &=6\sqrt6; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{д)}\quad &3\sqrt2+\sqrt{32}-\sqrt{200}\\ &=3\sqrt2+4\sqrt2-10\sqrt2\\ &=-3\sqrt2; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{е)}\quad &2\sqrt{72}-\sqrt{50}-2\sqrt8\\ &=12\sqrt2-5\sqrt2-4\sqrt2\\ &=3\sqrt2. \end{aligned} \]
Проверка: в каждом пункте все корни приведены к одной и той же основе, поэтому остаётся только сложить или вычесть их коэффициенты.
Обсуждение
2 сообщения414 сделай подробней
№ 414
Сначала вынесем из-под корня множители, являющиеся полными квадратами:
\[ \sqrt{a^2b}=a\sqrt b. \]
После этого сложим подобные радикалы — корни с одинаковым подкоренным выражением.
а)
\[ \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300} \]
Разложим числа:
\[ 75=25\cdot3,\qquad 48=16\cdot3,\qquad 300=100\cdot3. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300} &=\sqrt{25\cdot3}+\sqrt{16\cdot3}-\sqrt{100\cdot3}\\ &=5\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\\ &=(5+4-10)\sqrt3\\ &=-\sqrt3. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{-\sqrt3} \]
б)
\[ 3\sqrt8-\sqrt{50}+2\sqrt{18} \]
Разложим числа:
\[ 8=4\cdot2,\qquad 50=25\cdot2,\qquad 18=9\cdot2. \]
Получаем:
\[ \begin{aligned} 3\sqrt8-\sqrt{50}+2\sqrt{18} &=3\sqrt{4\cdot2}-\sqrt{25\cdot2} +2\sqrt{9\cdot2}\\ &=3\cdot2\sqrt2-5\sqrt2+2\cdot3\sqrt2\\ &=6\sqrt2-5\sqrt2+6\sqrt2\\ &=(6-5+6)\sqrt2\\ &=7\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{7\sqrt2} \]
в)
\[ \sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt8 \]
Разложим числа:
\[ 242=121\cdot2,\qquad 200=100\cdot2,\qquad 8=4\cdot2. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt8 &=\sqrt{121\cdot2}-\sqrt{100\cdot2} +\sqrt{4\cdot2}\\ &=11\sqrt2-10\sqrt2+2\sqrt2\\ &=(11-10+2)\sqrt2\\ &=3\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{3\sqrt2} \]
г)
\[ \sqrt{75}-0{,}1\sqrt{300}-\sqrt{27} \]
Разложим числа:
\[ 75=25\cdot3,\qquad 300=100\cdot3,\qquad 27=9\cdot3. \]
Выполним преобразование:
\[ \begin{aligned} \sqrt{75}-0{,}1\sqrt{300}-\sqrt{27} &=\sqrt{25\cdot3}-0{,}1\sqrt{100\cdot3} -\sqrt{9\cdot3}\\ &=5\sqrt3-0{,}1\cdot10\sqrt3-3\sqrt3\\ &=5\sqrt3-\sqrt3-3\sqrt3\\ &=(5-1-3)\sqrt3\\ &=\sqrt3. \end{aligned} \]
Здесь:
\[ 0{,}1\cdot10=1. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sqrt3} \]
д)
\[ \sqrt{98}-\sqrt{72}+0{,}5\sqrt8 \]
Разложим числа:
\[ 98=49\cdot2,\qquad 72=36\cdot2,\qquad 8=4\cdot2. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{98}-\sqrt{72}+0{,}5\sqrt8 &=\sqrt{49\cdot2}-\sqrt{36\cdot2} +0{,}5\sqrt{4\cdot2}\\ &=7\sqrt2-6\sqrt2+0{,}5\cdot2\sqrt2\\ &=7\sqrt2-6\sqrt2+\sqrt2\\ &=(7-6+1)\sqrt2\\ &=2\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{2\sqrt2} \]
Все ответы
\[ \boxed{\text{а) }-\sqrt3;\quad \text{б) }7\sqrt2;\quad \text{в) }3\sqrt2;\quad \text{г) }\sqrt3;\quad \text{д) }2\sqrt2.} \]
