Карандаш и ластик оживил и начали писать робота

Краткий ответ: если карандаш и ластик сами ожили, правильно так: «Карандаш и ластик ожили и начали рисовать робота».

Почему:

• карандаш и ластик — два предмета, поэтому глаголы во множественном числе: ожили, начали;
• оживил — форма единственного числа: кто-то оживил карандаш и ластик;
• робота обычно рисуют, а не «пишут».

Если они оживили робота, то: «Карандаш и ластик оживили робота и начали рисовать».