414,415
Краткий ответ
414.
а) \(-\sqrt3\);
б) \(7\sqrt2\);
в) \(3\sqrt2\);
г) \(\sqrt3\);
д) \(2\sqrt2\).
415.
а) \(4\sqrt{2p}\);
б) \(-\sqrt{10c}\);
в) \(-5\sqrt{3m}\);
г) \(6\sqrt6\);
д) \(-3\sqrt2\);
е) \(3\sqrt2\).
Как решать
Используем правило:
\[ \sqrt{k^2a}=k\sqrt a. \]
Сначала выносим из-под корня полный квадрат, затем складываем коэффициенты при одинаковых корнях.
Упражнение 414
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300} &=5\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\\ &=-\sqrt3; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{б)}\quad 3\sqrt8-\sqrt{50}+2\sqrt{18} &=3\cdot2\sqrt2-5\sqrt2+2\cdot3\sqrt2\\ &=7\sqrt2; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{в)}\quad \sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt8 &=11\sqrt2-10\sqrt2+2\sqrt2\\ &=3\sqrt2; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{г)}\quad \sqrt{75}-0{,}1\sqrt{300}-\sqrt{27} &=5\sqrt3-0{,}1\cdot10\sqrt3-3\sqrt3\\ &=\sqrt3; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{д)}\quad \sqrt{98}-\sqrt{72}+0{,}5\sqrt8 &=7\sqrt2-6\sqrt2+0{,}5\cdot2\sqrt2\\ &=2\sqrt2. \end{aligned} \]
Упражнение 415
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad \sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p} &=2\sqrt{2p}-\sqrt{2p}+3\sqrt{2p}\\ &=4\sqrt{2p}; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{б)}\quad \sqrt{160c}+2\sqrt{40c}-3\sqrt{90c} &=4\sqrt{10c}+4\sqrt{10c}-9\sqrt{10c}\\ &=-\sqrt{10c}; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{в)}\quad 5\sqrt{27m}-4\sqrt{48m}-2\sqrt{12m} &=15\sqrt{3m}-16\sqrt{3m}-4\sqrt{3m}\\ &=-5\sqrt{3m}; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{г)}\quad \sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{150} &=3\sqrt6-2\sqrt6+5\sqrt6\\ &=6\sqrt6; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{д)}\quad 3\sqrt2+\sqrt{32}-\sqrt{200} &=3\sqrt2+4\sqrt2-10\sqrt2\\ &=-3\sqrt2; \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{е)}\quad 2\sqrt{72}-\sqrt{50}-2\sqrt8 &=12\sqrt2-5\sqrt2-4\sqrt2\\ &=3\sqrt2. \end{aligned} \]
Проверка: в каждом пункте после вынесения квадратных множителей получаются одинаковые корни, поэтому достаточно сложить их коэффициенты.
Обсуждение
4 сообщенияраспиши 414 подробней
Конечно. В № 414 сначала разложим подкоренные числа так, чтобы выделить полный квадрат:
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b. \]
Затем приведём подобные слагаемые.
а)
\[ \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300} \]
Разложим числа:
\[ 75=25\cdot3,\qquad 48=16\cdot3,\qquad 300=100\cdot3. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{75}+\sqrt{48}-\sqrt{300} &=\sqrt{25\cdot3}+\sqrt{16\cdot3}-\sqrt{100\cdot3}\\ &=5\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\\ &=(5+4-10)\sqrt3\\ &=-\sqrt3. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{-\sqrt3} \]
б)
\[ 3\sqrt8-\sqrt{50}+2\sqrt{18} \]
Разложим числа:
\[ 8=4\cdot2,\qquad 50=25\cdot2,\qquad 18=9\cdot2. \]
Получаем:
\[ \begin{aligned} 3\sqrt8-\sqrt{50}+2\sqrt{18} &=3\sqrt{4\cdot2}-\sqrt{25\cdot2} +2\sqrt{9\cdot2}\\ &=3\cdot2\sqrt2-5\sqrt2+2\cdot3\sqrt2\\ &=6\sqrt2-5\sqrt2+6\sqrt2\\ &=(6-5+6)\sqrt2\\ &=7\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{7\sqrt2} \]
в)
\[ \sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt8 \]
Разложим числа:
\[ 242=121\cdot2,\qquad 200=100\cdot2,\qquad 8=4\cdot2. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{242}-\sqrt{200}+\sqrt8 &=\sqrt{121\cdot2}-\sqrt{100\cdot2} +\sqrt{4\cdot2}\\ &=11\sqrt2-10\sqrt2+2\sqrt2\\ &=(11-10+2)\sqrt2\\ &=3\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{3\sqrt2} \]
г)
\[ \sqrt{75}-0{,}1\sqrt{300}-\sqrt{27} \]
Разложим числа:
\[ 75=25\cdot3,\qquad 300=100\cdot3,\qquad 27=9\cdot3. \]
Получаем:
\[ \begin{aligned} \sqrt{75}-0{,}1\sqrt{300}-\sqrt{27} &=5\sqrt3-0{,}1\cdot10\sqrt3-3\sqrt3\\ &=5\sqrt3-\sqrt3-3\sqrt3\\ &=(5-1-3)\sqrt3\\ &=\sqrt3. \end{aligned} \]
Здесь:
\[ 0{,}1\cdot10=1. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sqrt3} \]
д)
\[ \sqrt{98}-\sqrt{72}+0{,}5\sqrt8 \]
Разложим числа:
\[ 98=49\cdot2,\qquad 72=36\cdot2,\qquad 8=4\cdot2. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{98}-\sqrt{72}+0{,}5\sqrt8 &=\sqrt{49\cdot2}-\sqrt{36\cdot2} +0{,}5\sqrt{4\cdot2}\\ &=7\sqrt2-6\sqrt2+0{,}5\cdot2\sqrt2\\ &=7\sqrt2-6\sqrt2+\sqrt2\\ &=(7-6+1)\sqrt2\\ &=2\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{2\sqrt2} \]
Итог:
\[ \boxed{\text{а) }-\sqrt3;\quad \text{б) }7\sqrt2;\quad \text{в) }3\sqrt2;\quad \text{г) }\sqrt3;\quad \text{д) }2\sqrt2.} \]
распиши 415 подробнее
В № 415 применяем правило:
\[ \sqrt{a^2b}=a\sqrt b. \]
После вынесения квадратного множителя из-под корня складываем подобные радикалы.
а)
\[ \sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p} \]
Представим числа \(8\) и \(18\) так, чтобы под корнем осталось \(2p\):
\[ 8p=4\cdot2p,\qquad 18p=9\cdot2p. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \sqrt{8p}-\sqrt{2p}+\sqrt{18p} &=\sqrt{4\cdot2p}-\sqrt{2p} +\sqrt{9\cdot2p}\\ &=2\sqrt{2p}-\sqrt{2p}+3\sqrt{2p}\\ &=(2-1+3)\sqrt{2p}\\ &=4\sqrt{2p}. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{4\sqrt{2p}} \]
б)
\[ \sqrt{160c}+2\sqrt{40c}-3\sqrt{90c} \]
Выделим из чисел \(160\), \(40\) и \(90\) множители так, чтобы под корнем осталось \(10c\):
\[ 160c=16\cdot10c, \]
\[ 40c=4\cdot10c, \]
\[ 90c=9\cdot10c. \]
Получаем:
\[ \begin{aligned} \sqrt{160c}+2\sqrt{40c}-3\sqrt{90c} &=\sqrt{16\cdot10c} +2\sqrt{4\cdot10c} -3\sqrt{9\cdot10c}\\ &=4\sqrt{10c} +2\cdot2\sqrt{10c} -3\cdot3\sqrt{10c}\\ &=4\sqrt{10c}+4\sqrt{10c}-9\sqrt{10c}\\ &=(4+4-9)\sqrt{10c}\\ &=-\sqrt{10c}. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{-\sqrt{10c}} \]
в)
\[ 5\sqrt{27m}-4\sqrt{48m}-2\sqrt{12m} \]
Вынесем множители так, чтобы под корнем осталось \(3m\):
\[ 27m=9\cdot3m, \]
\[ 48m=16\cdot3m, \]
\[ 12m=4\cdot3m. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} 5\sqrt{27m}-4\sqrt{48m}-2\sqrt{12m} &=5\sqrt{9\cdot3m} -4\sqrt{16\cdot3m} -2\sqrt{4\cdot3m}\\ &=5\cdot3\sqrt{3m} -4\cdot4\sqrt{3m} -2\cdot2\sqrt{3m}\\ &=15\sqrt{3m}-16\sqrt{3m}-4\sqrt{3m}\\ &=(15-16-4)\sqrt{3m}\\ &=-5\sqrt{3m}. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{-5\sqrt{3m}} \]
г)
\[ \sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{150} \]
Разложим числа:
\[ 54=9\cdot6,\qquad 24=4\cdot6,\qquad 150=25\cdot6. \]
Получаем:
\[ \begin{aligned} \sqrt{54}-\sqrt{24}+\sqrt{150} &=\sqrt{9\cdot6}-\sqrt{4\cdot6} +\sqrt{25\cdot6}\\ &=3\sqrt6-2\sqrt6+5\sqrt6\\ &=(3-2+5)\sqrt6\\ &=6\sqrt6. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{6\sqrt6} \]
д)
\[ 3\sqrt2+\sqrt{32}-\sqrt{200} \]
Представим числа \(32\) и \(200\) через \(2\):
\[ 32=16\cdot2,\qquad 200=100\cdot2. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} 3\sqrt2+\sqrt{32}-\sqrt{200} &=3\sqrt2+\sqrt{16\cdot2} -\sqrt{100\cdot2}\\ &=3\sqrt2+4\sqrt2-10\sqrt2\\ &=(3+4-10)\sqrt2\\ &=-3\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{-3\sqrt2} \]
е)
\[ 2\sqrt{72}-\sqrt{50}-2\sqrt8 \]
Разложим числа:
\[ 72=36\cdot2,\qquad 50=25\cdot2,\qquad 8=4\cdot2. \]
Получаем:
\[ \begin{aligned} 2\sqrt{72}-\sqrt{50}-2\sqrt8 &=2\sqrt{36\cdot2} -\sqrt{25\cdot2} -2\sqrt{4\cdot2}\\ &=2\cdot6\sqrt2-5\sqrt2-2\cdot2\sqrt2\\ &=12\sqrt2-5\sqrt2-4\sqrt2\\ &=(12-5-4)\sqrt2\\ &=3\sqrt2. \end{aligned} \]
Ответ:
\[ \boxed{3\sqrt2} \]
Итог
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}&\ 4\sqrt{2p};& \text{б)}&\ -\sqrt{10c};\\ \text{в)}&\ -5\sqrt{3m};& \text{г)}&\ 6\sqrt6;\\ \text{д)}&\ -3\sqrt2;& \text{е)}&\ 3\sqrt2. \end{aligned}} \]
