Как решить номер 4 в ОГЭ по математике, квартиры

Да, тогда нужно сравнить площади комнат.

Если площадь большей комнаты \(S_{\text{б}}\), а меньшей — \(S_{\text{м}}\), то:

\[ \text{процент увеличения}= \frac{S_{\text{б}}-S_{\text{м}}}{S_{\text{м}}}\cdot100\%. \]

Важно: делим на площадь меньшей комнаты, потому что спрашивают, на сколько процентов большая больше меньшей.

Пример:
\(S_{\text{б}}=18\text{ м}^2\), \(S_{\text{м}}=15\text{ м}^2\).

\[ \frac{18-15}{15}\cdot100\%=20\%. \]

Значит, большая комната больше меньшей на \(20\%\). Пришли размеры комнат или фотографию задания — посчитаю именно твой номер.

На координатной прямой точка \(a\) находится между \(-3\) и \(-2\), поэтому:

\[ -3<a<-2. \]

Проверим утверждения.

1. Умножим неравенство на \(-1\) и поменяем знаки:

\[ 3>-a>2 \quad\text{или}\quad 2<-a<3. \]

Значит, \(-a<2\) — неверно.

2. Так как \(-a>2\), то

\[ -1-a=-1+(-a)>-1+2=1>0. \]

Утверждение \(-1-a>0\) — верно.

3. Число \(a\) отрицательное, значит и обратное ему число отрицательное:

\[ \frac1a<0. \]

Утверждение \(\frac1a>0\) — неверно.

4. Так как \(a>-3\), то

\[ a+3>0, \]

а не \(a+3<0\).

Ответ: 2.

Алгоритм для таких задач: сначала определи промежуток, в котором находится число, а затем проверь каждое утверждение, учитывая, что при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется.

Если речь о задаче с комнатами, проверяй обратным вычислением.

1. Площадь меньшей комнаты принимаем за \(100\%\).
2. Найденный процент прибавляем к \(100\%\).
3. Умножаем площадь меньшей комнаты на полученный коэффициент:

\[ S_{\text{меньшей}}\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right) \]

Должна получиться площадь большей комнаты.

Пример:
меньшая комната — \(15\ \text{м}^2\), большая — \(18\ \text{м}^2\).

\[ p=\frac{18-15}{15}\cdot100\%=20\%. \]

Проверка:

\[ 15\cdot\left(1+\frac{20}{100}\right)=15\cdot1{,}2=18\ \text{м}^2. \]

Значит, ответ верный. Предыдущий пример с неравенствами был не к твоей задаче.

Для задач, где точка \(a\) расположена на числовой прямой, действуй так.

Алгоритм

1. Запиши промежуток для \(a\).
   Например, если точка между \(-3\) и \(-2\), то

   \[ -3<a<-2. \]

2. Проверь каждое утверждение отдельно.
   Преобразуй его, используя найденный промежуток.

3. Помни правила:

   • при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется;
   • если \(a<0\), то \(\dfrac1a<0\);
   • если к неравенству прибавить одно и то же число, знак не меняется.

На этом примере

Дано:

\[ -3<a<-2. \]

1. Проверим \(-a<2\):

Умножаем на \(-1\):

\[ 3>-a>2, \]

то есть

\[ 2<-a<3. \]

Следовательно, \(-a<2\) — неверно.

2. Проверим \(-1-a>0\):

Так как \(-a>2\), то

\[ -1-a=-1+(-a)>-1+2=1. \]

Значит,

\[ -1-a>0. \]

Это утверждение верно.

3. Проверим \(\dfrac1a>0\):

Число \(a\) отрицательное, поэтому

\[ \frac1a<0. \]

Утверждение неверно.

4. Проверим \(a+3<0\):

Из \(-3<a\) получаем:

\[ a+3>0. \]

Значит, утверждение неверно.

Ответ: 2.

Главное — сначала определить промежуток для \(a\), а затем преобразовать каждое утверждение, не забывая менять знак при умножении или делении на отрицательное число.

Давай совсем просто — подставим удобное число.

На рисунке число \(a\) находится между \(-3\) и \(-2\). Возьмём, например:

\[ a=-2{,}5. \]

Теперь проверяем варианты.

1. \(-a<2\)

\[ -(-2{,}5)=2{,}5,\qquad 2{,}5<2 \]

Неверно.

2. \(-1-a>0\)

\[ -1-(-2{,}5)=1{,}5,\qquad 1{,}5>0 \]

Верно.

3. \(\dfrac1a>0\)

\[ \frac1{-2{,}5}=-0{,}4,\qquad -0{,}4>0 \]

Неверно.

4. \(a+3<0\)

\[ -2{,}5+3=0{,}5,\qquad 0{,}5<0 \]

Неверно.

Значит, правильный вариант — 2.

Смысл такой: если число \(a\) находится между \(-3\) и \(-2\), можно взять любое число из этого промежутка, например \(-2{,}5\), и проверить утверждения подстановкой.

Если ты про свойства квадратных корней, запомни основные правила.

1. Корень существует только из неотрицательного числа

\[ \sqrt a \text{ существует, если } a\ge 0. \]

Например:

\[ \sqrt{9}=3,\qquad \sqrt{-9}\text{ — не существует в школьной математике}. \]

2. Квадрат корня

\[ (\sqrt a)^2=a,\qquad a\ge0. \]

Например:

\[ (\sqrt7)^2=7. \]

3. Корень из квадрата

\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]

Модуль нужен обязательно:

\[ \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5, \]

а \(-5\) — не ответ.

4. Корень из произведения

\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b, \qquad a\ge0,\ b\ge0. \]

Например:

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3. \]

5. Корень из дроби

\[ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}, \qquad a\ge0,\ b>0. \]

Например:

\[ \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac34. \]

6. Сравнение корней

Если

\[ 0\le a<b, \]

то

\[ \sqrt a<\sqrt b. \]

Например:

\[ 7<10\Rightarrow\sqrt7<\sqrt{10}. \]

Так делать нельзя

\[ \sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b, \]

\[ \sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b. \]

Например:

\[ \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, \]

но

\[ \sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7. \]

Главное правило: сначала проверь, что подкоренное выражение неотрицательно, а при извлечении корня из квадрата ставь модуль.

Если под корнем стоит \(5\), то:

\[ \sqrt5 \]

нацело не извлекается, потому что \(5\) не является квадратом целого числа. Поэтому обычно оставляют ответ \(\sqrt5\).

Можно оценить:

\[ 4<5<9 \quad\Rightarrow\quad 2<\sqrt5<3, \]

\[ \sqrt5\approx2{,}236. \]

Полезно помнить:

\[ (\sqrt5)^2=5, \]

\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5. \]

То есть \(\sqrt5\) — это не \(5\), а число, квадрат которого равен \(5\).

На фото выражение:

\[ (\sqrt{20}+\sqrt5)\cdot\sqrt5. \]

Сначала упростим \(\sqrt{20}\):

\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5. \]

Подставим:

\[ (2\sqrt5+\sqrt5)\cdot\sqrt5 =3\sqrt5\cdot\sqrt5. \]

Так как

\[ \sqrt5\cdot\sqrt5=5, \]

получаем:

\[ 3\cdot5=\boxed{15}. \]

Ответ: \(\boxed{15}\).

Потому что корни можно упростить по шагам:

\[ (\sqrt{20}+\sqrt5)\cdot\sqrt5 \]

1. Упростим \(\sqrt{20}\)

Разложим \(20\) на \(4\cdot5\):

\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt4\cdot\sqrt5=2\sqrt5. \]

Тогда выражение становится:

\[ (2\sqrt5+\sqrt5)\cdot\sqrt5. \]

2. Сложим одинаковые слагаемые

\[ 2\sqrt5+\sqrt5=3\sqrt5. \]

Это как \(2x+x=3x\).

Получаем:

\[ 3\sqrt5\cdot\sqrt5. \]

3. Перемножим корни

\[ \sqrt5\cdot\sqrt5=5, \]

потому что квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя даёт подкоренное число.

Значит:

\[ 3\cdot5=\boxed{15}. \]

Чтобы научиться определять графики, смотри на вид формулы и основные признаки, а не пытайся сразу строить весь график.

1. Определи вид функции

2. Посмотри, где график пересекает оси

Чтобы найти пересечение с осью \(Oy\), подставь \(x=0\).

Например:

\[ y=2x-3. \]

При \(x=0\):

\[ y=-3. \]

Значит, прямая проходит через точку \((0;-3)\).

Чтобы найти пересечение с осью \(Ox\), подставь \(y=0\).

3. Определи направление

Для прямой:

\[ y=kx+b. \]

• \(k>0\) — график возрастает;
• \(k<0\) — график убывает.

Например, \(y=3x+1\) идёт вверх слева направо, а \(y=-2x+4\) — вниз.

4. Запомни признаки основных графиков

Парабола

\[ y=x^2 \]

Ветви направлены вверх, вершина — \((0;0)\).

\[ y=-x^2 \]

Ветви направлены вниз.

Гипербола

\[ y=\frac{k}{x} \]

Если \(k>0\), ветви находятся в I и III четвертях:

\[ y=\frac{2}{x}. \]

Если \(k<0\), ветви находятся во II и IV четвертях:

\[ y=-\frac{2}{x}. \]

График не пересекает оси координат.

Корень

\[ y=\sqrt{x} \]

График начинается в точке \((0;0)\), существует только при \(x\ge0\) и постепенно возрастает.

Например:

\[ y=\sqrt{x-2}+1 \]

начинается в точке \((2;1)\).

Быстрый алгоритм

1. Определи вид функции.
2. Найди точку при \(x=0\).
3. Проверь, где график пересекает ось \(Ox\).
4. Посмотри, возрастает он или убывает.
5. Выбери график, который подходит по всем признакам.
6. Если сомневаешься, подставь \(x=1\) и проверь ещё одну точку.

Например, для \(y=x^2-4\):

• это парабола;
• ветви направлены вверх;
• пересечения с осью \(Ox\): \(x=-2\) и \(x=2\);
• пересечение с осью \(Oy\): \((0;-4)\).

По этим признакам нужную параболу уже легко узнать.