Вася выписывает на доску в порядке возрастания все числа, являющиеся степенями тройки, а также суммами различных степеней тройки: 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, ... Какое число у Васи на 2050 месте?

Ответ: \(\boxed{177150}\).

Каждое число в последовательности записывается в троичной системе только цифрами \(0\) и \(1\), потому что оно является суммой различных степеней тройки:

\[ 1=1_3,\quad 3=10_3,\quad 4=11_3,\quad 9=100_3. \]

Порядок таких троичных записей совпадает с порядком двоичных чисел, если заменить основание \(2\) на основание \(3\).

Представим номер места \(2050\) в виде суммы степеней двойки:

\[ 2050=2048+2=2^{11}+2^1. \]

Значит, на этом месте будет число

\[ 3^{11}+3^1=177147+3=\boxed{177150}. \]

Проверка: первые номера \(2047\) соответствуют числам, использующим степени \(3^0,\ldots,3^{10}\), а \(2050\)-е число действительно имеет вид \(3^{11}+3\).