4.19
Краткий ответ:
- \(\boxed{|a-1|}\)
- \(\boxed{|a+3|}\)
- \(\boxed{|a+2|}\)
- \(\boxed{|2a-3|}\)
Правило:
\[
\sqrt{x^2}=|x|,
\]
так как квадратный корень всегда неотрицателен.
Решение
\[ \sqrt{(a+1)^2-4a} =\sqrt{a^2+2a+1-4a} =\sqrt{a^2-2a+1} =\sqrt{(a-1)^2} =|a-1|. \]
\[ \sqrt{(a-3)^2+12a} =\sqrt{a^2-6a+9+12a} =\sqrt{a^2+6a+9} =\sqrt{(a+3)^2} =|a+3|. \]
\[ \sqrt{(a-2)^2+8a} =\sqrt{a^2-4a+4+8a} =\sqrt{a^2+4a+4} =\sqrt{(a+2)^2} =|a+2|. \]
\[ \sqrt{(2a+3)^2-24a} =\sqrt{4a^2+12a+9-24a} =\sqrt{4a^2-12a+9} =\sqrt{(2a-3)^2} =|2a-3|. \]
Проверка: в каждом пункте подкоренное выражение превратилось в квадрат, поэтому применяется правило \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни, как раскрывать получившиеся модулиેણ
Модуль раскрывают по правилу:
\[ |x|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases} \]
То есть нужно определить, при каких значениях \(a\) выражение внутри модуля положительно или отрицательно.
1. \(\lvert a-1\rvert\)
\[ a-1\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad a\ge 1. \]
Поэтому
\[ |a-1|= \begin{cases} a-1, & a\ge 1,\\ 1-a, & a<1. \end{cases} \]
2. \(\lvert a+3\rvert\)
\[ a+3\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad a\ge -3. \]
\[ |a+3|= \begin{cases} a+3, & a\ge -3,\\ -a-3, & a<-3. \end{cases} \]
3. \(\lvert a+2\rvert\)
\[ a+2\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad a\ge -2. \]
\[ |a+2|= \begin{cases} a+2, & a\ge -2,\\ -a-2, & a<-2. \end{cases} \]
4. \(\lvert 2a-3\rvert\)
\[ 2a-3\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad a\ge \frac32. \]
\[ |2a-3|= \begin{cases} 2a-3, & a\ge \frac32,\\ 3-2a, & a<\frac32. \end{cases} \]
Важно: если значение \(a\) не задано, модуль нельзя просто убрать. Например,
\[
|a-1|=a-1
\]
только при \(a\ge1\), а при \(a<1\) он равен \(1-a\).
