как выглядит график функции у игрек равен? икс в квадрате - 2 икс. и если его поменять на игрек равный эф от-икса?
Краткий ответ:
Пусть
\[
f(x)=x^2-2x.
\]
Тогда её график — парабола:
\[ y=x^2-2x=(x-1)^2-1. \]
- ветви направлены вверх;
- вершина: \((1;-1)\);
- ось симметрии: \(x=1\);
- пересечения с осью \(Ox\): \((0;0)\) и \((2;0)\).
Если построить функцию
\[
y=f(-x),
\]
то
\[ f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x=(x+1)^2-1. \]
Это та же парабола, отражённая относительно оси \(Oy\):
- вершина: \((-1;-1)\);
- ось симметрии: \(x=-1\);
- корни: \(x=-2\) и \(x=0\);
- ветви направлены вверх.
Принцип: при замене \(y=f(x)\) на \(y=f(-x)\) график отражается относительно оси \(Oy\): каждая точка \((x;y)\) переходит в \((-x;y)\).
Обсуждение
10 сообщенийКак будет выглядеть график функции 2 икс + 1 в квадрате - 1?
Если имеется в виду функция
\[
y=(2x+1)^2-1,
\]
то преобразуем:
\[ y=4\left(x+\frac12\right)^2-1. \]
Это парабола, ветви направлены вверх.
- Вершина: \(\left(-\frac12;-1\right)\);
- ось симметрии: \(x=-\frac12\);
- корни: \[ (2x+1)^2-1=0 \Rightarrow x=-1,\;x=0; \]
- график уже, чем \(y=x^2\), сдвинут на \(\frac12\) влево и на 1 вниз.
Для построения можно отметить точки:
\[ (-1;0),\quad \left(-\frac12;-1\right),\quad (0;0). \]
Получится симметричная парабола с вершиной между точками \((-1;0)\) и \((0;0)\).
Поподробней.
Разберём функцию
\[
y=(2x+1)^2-1.
\]
1. Приведём к виду параболы
Вынесем 2 из скобок:
\[ 2x+1=2\left(x+\frac12\right). \]
Тогда
\[ y=\left(2\left(x+\frac12\right)\right)^2-1 =4\left(x+\frac12\right)^2-1. \]
Сравним со стандартным видом:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Получаем:
\[ a=4,\qquad h=-\frac12,\qquad k=-1. \]
2. Вершина и направление ветвей
Вершина параболы:
\[ \boxed{\left(-\frac12;-1\right)}. \]
Так как \(a=4>0\), ветви направлены вверх.
Ось симметрии:
\[ \boxed{x=-\frac12}. \]
Парабола будет более узкой, чем график \(y=x^2\), потому что коэффициент перед квадратом равен \(4\).
3. Основные точки
Найдём точки пересечения с осями.
Пересечение с осью \(Ox\)
На оси \(Ox\) значение \(y=0\):
\[ (2x+1)^2-1=0. \]
\[ (2x+1)^2=1. \]
Отсюда:
\[ 2x+1=1 \quad\text{или}\quad 2x+1=-1. \]
\[ x=0 \quad\text{или}\quad x=-1. \]
Точки пересечения:
\[ \boxed{(0;0)\text{ и }(-1;0)}. \]
Пересечение с осью \(Oy\)
Полагаем \(x=0\):
\[ y=(2\cdot0+1)^2-1=1-1=0. \]
Получаем точку:
\[ \boxed{(0;0)}. \]
4. Таблица значений
Удобно брать значения \(x\), симметричные относительно \(x=-\frac12\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\frac32 & -1 & -\frac12 & 0 & \frac12\\ \hline y=(2x+1)^2-1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array} \]
Точки:
\[ \left(-\frac32;3\right),\quad (-1;0),\quad \left(-\frac12;-1\right),\quad (0;0),\quad \left(\frac12;3\right). \]
Наносим их на координатную плоскость и соединяем плавной линией. Получится парабола:
- с вершиной \(\left(-\frac12;-1\right)\);
- ветвями вверх;
- осью симметрии \(x=-\frac12\);
- нулями \(x=-1\) и \(x=0\).
5. Как получить её из \(y=x^2\)
\[ y=(2x+1)^2-1=4\left(x+\frac12\right)^2-1. \]
Значит, график \(y=x^2\):
- становится более узким в 4 раза;
- сдвигается влево на \(\frac12\);
- сдвигается вниз на 1.
Схематично вершина находится так:
\[ \boxed{\left(-\frac12;-1\right)}. \]
Область значений функции:
\[ \boxed{y\ge -1}. \]
Как так получилось что ты сократил четвёрку в этой функции
Четвёрку не сократили, а получили при раскрытии квадрата.
Было:
\[ y=(2x+1)^2-1. \]
Вынесем \(2\) из скобок:
\[ 2x+1=2\left(x+\frac12\right), \]
потому что
\[ 2\left(x+\frac12\right)=2x+1. \]
Теперь возводим в квадрат:
\[ (2x+1)^2= \left[2\left(x+\frac12\right)\right]^2. \]
При возведении произведения в квадрат квадратуется каждый множитель:
\[ \left[2\left(x+\frac12\right)\right]^2 =2^2\left(x+\frac12\right)^2 =4\left(x+\frac12\right)^2. \]
Поэтому
\[ \boxed{(2x+1)^2-1=4\left(x+\frac12\right)^2-1}. \]
Например, при \(x=1\):
\[ (2\cdot1+1)^2-1=3^2-1=8, \]
а
\[ 4\left(1+\frac12\right)^2-1 =4\cdot\frac94-1=8. \]
Значит, это две одинаковые записи одной и той же функции.
Ты можешь мне прямо нарисовать функцию 2 икс + 1 в квадрате - 1?
Да. Для функции
\[
y=(2x+1)^2-1
\]
график выглядит так — это парабола с ветвями вверх:
y
↑
4 ╲ ╱
3 ● ●
2 ╲ ╱
1 ╲ ╱
0 ───────────────●─────────●────────→ x
-1 ●
-1,5 -1 -0,5 0 0,5
Основные точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5\\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array} \]
То есть нужно:
Отметить вершину
\[ \left(-\frac12;-1\right). \]Провести ось симметрии
\[ x=-\frac12. \]Отметить точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ (-1;0),\quad (0;0). \]Отметить симметричные точки:
\[ \left(-\frac32;3\right),\quad \left(\frac12;3\right). \]Соединить точки плавной параболой, ветви направить вверх.
Сгенерируй пожалуйста эти графики функций чтобы я их увидела как рисунки
Конечно. Покажу все три функции, о которых мы говорили. Рисунки схематичные, но вершины и точки пересечения указаны точно.
1. \(y=x^2-2x\)
Вершина: \((1;-1)\), нули: \(x=0\) и \(x=2\).
y
↑
3 ●╲ ╱●
2 ╲ ╱
1 ╲ ╱
0 ───────────●───────●────────→ x
-1 ●
-1 0 1 2 3
2. \(y=f(-x)=x^2+2x\)
Вершина: \((-1;-1)\), нули: \(x=-2\) и \(x=0\).
y
↑
3 ●╲ ╱●
2 ╲ ╱
1 ╲ ╱
0 ───────────●───────●────────→ x
-1 ●
-3 -2 -1 0 1
Это отражение первого графика относительно оси \(Oy\).
3. \(y=(2x+1)^2-1\)
Вершина:
\[
\left(-\frac12;-1\right),
\]
нули: \(x=-1\) и \(x=0\).
y
↑
3 ● ●
2 ╲ ╱
1 ╲ ╱
0 ─────────────●─●──────────→ x
-1 ●
-1,5 -1 -0,5 0 0,5
Последняя парабола более узкая, потому что перед квадратом стоит коэффициент \(4\):
\[ y=4\left(x+\frac12\right)^2-1. \]
