Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(AC=18\).
- \(\cos\angle ABC=-\dfrac{1}{10}\).
- \(S=30\).
- \(\dfrac{S}{\sqrt3}=50\).
- \(\dfrac{S}{\sqrt2}=85\).
Решение
№ 1
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}. \]
Подставим данные:
\[ AC=BC\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =6\sqrt6\cdot\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =6\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=18. \]
Ответ: \(\boxed{18}\).
№ 2
Для угла \(B\) применим теорему косинусов:
\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B. \]
Отсюда:
\[ \cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}. \]
\[ \cos B=\frac{5^2+7^2-9^2}{2\cdot5\cdot7} =\frac{25+49-81}{70} =-\frac{7}{70}=-\frac{1}{10}. \]
Ответ: \(\boxed{-\dfrac{1}{10}}\).
№ 3
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:
\[ S=\frac12 ab\sin\alpha. \]
\[ S=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\sin30^\circ =\frac12\cdot10\cdot12\cdot\frac12=30. \]
Ответ: \(\boxed{30}\).
№ 4
Сторона ромба:
\[ a=\frac{40}{4}=10. \]
Площадь ромба:
\[ S=a^2\sin60^\circ =10^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=50\sqrt3. \]
Требуется найти:
\[ \frac{S}{\sqrt3}=\frac{50\sqrt3}{\sqrt3}=50. \]
Ответ: \(\boxed{50}\).
№ 5
Площадь параллелограмма:
\[ S=ab\sin\alpha. \]
\[ S=17\cdot10\cdot\sin45^\circ =170\cdot\frac{\sqrt2}{2}=85\sqrt2. \]
Тогда:
\[ \frac{S}{\sqrt2}=\frac{85\sqrt2}{\sqrt2}=85. \]
Ответ: \(\boxed{85}\).
Проверка: \(\cos\angle ABC=-\frac{1}{10}\) находится в пределах от \(-1\) до \(1\), а все площади получились положительными.
