Реши задание на изображении
Краткий ответ
Вариант 1
- \(x=-4;\,-6\)
- \(x=8;\,-3\)
- \(x=-1;\,-\dfrac14\)
- \(x=4\pm\sqrt7\)
- Действительных корней нет
- \(x=\dfrac13\)
- \(x=-1;\,-\dfrac15\)
Вариант 2
- \(x=-1;\,-6\)
- \(x=-4;\,-7\)
- \(x=-1;\,-\dfrac83\)
- \(x=2\pm\sqrt3\)
- \(x=-\dfrac12\)
- Действительных корней нет
- \(x=-1;\,-\dfrac16\)
Прямоугольник: \(5\) см и \(11\) см.
Решение
Для квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) используют дискриминант:
\[ D=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Если выражение легко раскладывается на множители, применяем правило: произведение равно нулю, значит хотя бы один множитель равен нулю.
Вариант 1
\[ x^2+10x+24=(x+4)(x+6)=0 \] \[ x_1=-4,\qquad x_2=-6. \]
\[ x^2-5x-24=(x-8)(x+3)=0 \] \[ x_1=8,\qquad x_2=-3. \]
Делим уравнение на \(10\):
\[ 4x^2+5x+1=0 \]
\[ (4x+1)(x+1)=0 \]
\[ x_1=-\frac14,\qquad x_2=-1. \]
- \[ D=(-8)^2-4\cdot1\cdot9=64-36=28 \]
\[ x=\frac{8\pm\sqrt{28}}2=4\pm\sqrt7. \]
- \[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot10=16-40=-24<0 \]
Действительных корней нет.
- \[ 9x^2-6x+1=(3x-1)^2=0 \]
\[ 3x-1=0,\qquad x=\frac13. \]
- \[ 5x^2+6x+1=(5x+1)(x+1)=0 \]
\[ x_1=-\frac15,\qquad x_2=-1. \]
Вариант 2
- \[ x^2+7x+6=(x+1)(x+6)=0 \]
\[ x_1=-1,\qquad x_2=-6. \]
- \[ x^2+11x+28=(x+4)(x+7)=0 \]
\[ x_1=-4,\qquad x_2=-7. \]
- Умножим уравнение на \(-1\):
\[ 3x^2+11x+8=0 \]
\[ (3x+8)(x+1)=0 \]
\[ x_1=-\frac83,\qquad x_2=-1. \]
- \[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot1=12 \]
\[ x=\frac{4\pm\sqrt{12}}2=2\pm\sqrt3. \]
- \[ 4x^2+4x+1=(2x+1)^2=0 \]
\[ x=-\frac12. \]
- \[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot5=1-60=-59<0 \]
Действительных корней нет.
- \[ 6x^2+7x+1=(6x+1)(x+1)=0 \]
\[ x_1=-\frac16,\qquad x_2=-1. \]
Задача о прямоугольнике
Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\).
По условию:
\[ 2(a+b)=32 \quad\Rightarrow\quad a+b=16, \]
\[ ab=55. \]
Тогда стороны являются корнями уравнения:
\[ t^2-16t+55=0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-5)(t-11)=0. \]
Следовательно,
\[ a=5\text{ см},\qquad b=11\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(5+11)=32\text{ см},\qquad 5\cdot11=55\text{ см}^2. \]
