Хорошо. Разберём темы в правильном порядке: делимость → НОД → дроби → десятичные дроби → отношения и пропорции → проценты.

1. Делимость чисел

Число \(a\) делится на \(b\), если результат деления — целое число:

\[ 24:6=4 \]

Значит, \(24\) делится на \(6\).

Признаки делимости

На число	Признак
\(2\)	последняя цифра чётная: \(0,2,4,6,8\)
\(3\)	сумма цифр делится на \(3\)
\(4\)	последние две цифры делятся на \(4\)
\(5\)	последняя цифра \(0\) или \(5\)
\(6\)	число делится одновременно на \(2\) и \(3\)
\(9\)	сумма цифр делится на \(9\)
\(10\)	последняя цифра \(0\)

Пример: проверить число \(738\).

• на \(2\) — да, последняя цифра \(8\);
• на \(3\): \(7+3+8=18\), \(18\) делится на \(3\);
• на \(9\): \(18\) делится на \(9\);
• на \(5\) и \(10\) — нет.

---

2. НОД

НОД — наибольший общий делитель чисел.

Например, общие делители чисел \(12\) и \(18\):

\[ 1,\ 2,\ 3,\ 6 \]

Самый большой — \(6\), значит:

\[ \text{НОД}(12;18)=6 \]

НОД разложением на простые множители

Найдём НОД чисел \(84\) и \(126\):

\[ 84=2^2\cdot3\cdot7 \]

\[ 126=2\cdot3^2\cdot7 \]

Берём общие множители в меньших степенях:

\[ \text{НОД}(84;126)=2\cdot3\cdot7=42 \]

Главное правило: для НОД берём только общие множители.

---

3. Обыкновенные дроби

Дробь имеет вид:

\[ \frac{a}{b} \]

\(a\) — числитель, \(b\) — знаменатель.

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель делим на одно и то же число:

\[ \frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34 \]

Сложение и вычитание

Если знаменатели одинаковые:

\[ \frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8} \]

Если знаменатели разные, приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{2}{3}+\frac{5}{12} = \frac{8}{12}+\frac{5}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12} \]

Пример вычитания:

\[ \frac56-\frac14 = \frac{10}{12}-\frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]

Умножение дробей

Умножаем числитель на числитель, знаменатель на знаменатель:

\[ \frac23\cdot\frac9{10} = \frac{18}{30} = \frac35 \]

Деление дробей

Первую дробь умножаем на дробь, обратную второй:

\[ \frac34:\frac25 = \frac34\cdot\frac52 = \frac{15}{8} = 1\frac78 \]

Смешанное число переводим в неправильную дробь:

\[ 2\frac13=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac73 \]

---

4. Десятичные дроби

Сложение и вычитание

Запятые нужно записывать друг под другом:

\[ 4{,}7+0{,}35 = 4{,}70+0{,}35 = 5{,}05 \]

Умножение

Сначала умножаем числа без запятых, затем ставим запятую.

\[ 1{,}2\cdot0{,}3=0{,}36 \]

Всего после запятой было две цифры, поэтому в ответе тоже две цифры после запятой.

Деление на \(10,100,1000\)

Запятая переносится влево:

\[ 45{,}6:10=4{,}56 \]

\[ 45{,}6:100=0{,}456 \]

Перевод дробей

\[ 0{,}75=\frac{75}{100}=\frac34 \]

\[ \frac38=0{,}375 \]

Чтобы сравнить десятичные дроби, можно дописать нули:

\[ 0{,}7=0{,}70 \]

Поэтому:

\[ 0{,}70>0{,}65 \]

---

5. Отношения

Отношение показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой.

\[ 12:18=\frac{12}{18}=\frac23 \]

Значит, отношение \(12\) к \(18\) равно \(2:3\).

Отношение можно сокращать, как дробь:

\[ 15:25=3:5 \]

Если величины имеют разные единицы измерения, сначала переводим их в одинаковые единицы.

---

6. Пропорции

Пропорция — равенство двух отношений:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \]

Главное свойство пропорции:

\[ a\cdot d=b\cdot c \]

Пример

\[ \frac{x}{7}=\frac{6}{21} \]

Перемножаем крест-накрест:

\[ 21x=7\cdot6 \]

\[ 21x=42 \]

\[ x=2 \]

Ещё пример:

\[ 4:7=x:21 \]

\[ \frac47=\frac{x}{21} \]

\[ 7x=4\cdot21 \]

\[ x=12 \]

---

7. Проценты

Процент — это одна сотая часть:

\[ 1\%=\frac1{100} \]

Найти процент от числа

\[ 15\% \text{ от } 240 = 240\cdot\frac{15}{100} = 36 \]

Узнать, сколько процентов одно число составляет от другого

\[ \frac{36}{240}\cdot100\%=15\% \]

Найти всё число по его проценту

Если \(36\) — это \(15\%\) числа, то:

\[ 36:\frac{15}{100} = 36\cdot\frac{100}{15} = 240 \]

Увеличение и уменьшение на проценты

Увеличить число \(800\) на \(15\%\):

\[ 800+800\cdot\frac{15}{100}=920 \]

Или короче:

\[ 800\cdot1{,}15=920 \]

Уменьшить на \(15\%\):

\[ 800\cdot0{,}85=680 \]

---

Мини-тренировка

Реши самостоятельно:

1. На какие из чисел \(2,3,5,9,10\) делится \(3480\)?
2. Найди \(\text{НОД}(48;72)\).
3. Вычисли: \[ \frac56-\frac14 \]
4. Вычисли: \[ 1{,}25+0{,}8 \]
5. Реши пропорцию: \[ 4:7=x:21 \]
6. Найди \(18\%\) от \(250\).

Ответы для проверки

1. На \(2,3,5,10\), но не на \(9\).
2. \(24\).
3. \(\frac7{12}\).
4. \(2{,}05\).
5. \(x=12\).
6. \(45\).

Лучше учить эти темы именно в таком порядке: сначала правила делимости и НОД, затем действия с дробями, а потом отношения, пропорции и проценты.