Тест по предмету «Алгебра» на тему «системы нелинейных неравенств с двумя переменными»

1. Какая область является множеством решений системы? \[ \begin{cases} x^2+y^2\le 9,\\ y\ge 0 \end{cases} \]

A) Нижний замкнутый полудиск радиуса 3
B) Правая половина круга радиуса 3
C) Верхний замкнутый полудиск радиуса 3
D) Область вне круга радиуса 3 в верхней полуплоскости

2. Какая точка является решением системы? \[ \begin{cases} x^2+y^2<5,\\ y>x \end{cases} \]

A) \((0;0)\)
B) \((-1;1)\)
C) \((2;1)\)
D) \((2;0)\)

3. Область, лежащая внутри и на границе круга \(x^2+y^2=4\), а также выше и на параболе \(y=x^2\), задаётся системой:

A) \[ \begin{cases} x^2+y^2\ge 4,\\ y\ge x^2 \end{cases} \]

B) \[ \begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ y\le x^2 \end{cases} \]

C) \[ \begin{cases} x^2+y^2\ge 4,\\ y\le x^2 \end{cases} \]

D) \[ \begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ y\ge x^2 \end{cases} \]

4. Решением системы является множество:

\[ \begin{cases} (x-1)(x+2)\le 0,\\ y^2\le 4 \end{cases} \]

A) \(-2\le x\le 1,\ -2\le y\le 2\)
B) \(x\le-2\) или \(x\ge1,\ -2\le y\le2\)
C) \(-2\le x\le1,\ y\le-2\) или \(y\ge2\)
D) \(-1\le x\le2,\ -2\le y\le2\)

5. Какая точка является решением системы? \[ \begin{cases} xy>0,\\ x^2+y^2\le 4 \end{cases} \]

A) \((1;-1)\)
B) \((2;0)\)
C) \((1;1)\)
D) \((-1;1)\)

6. Для каких значений \(x\) система имеет хотя бы одно решение по \(y\)? \[ \begin{cases} y\ge x^2-1,\\ y\le 3 \end{cases} \]

A) \(x\le-2\) или \(x\ge2\)
B) \(-2\le x\le2\)
C) \(-2<x<2\)
D) \(x\ge0\)

7. Каково множество всех допустимых значений \(y\) при \(x=1\) для системы? \[ \begin{cases} y\ge x^2,\\ y\le 2x \end{cases} \]

A) \(y\le1\)
B) \(-1\le y\le1\)
C) \(y\ge2\)
D) \(1\le y\le2\)

8. Как выглядит область решений системы? \[ \begin{cases} x^2+y^2\ge1,\\ x^2+y^2\le4 \end{cases} \]

A) Круг \(x^2+y^2\le1\)
B) Внешность круга \(x^2+y^2=4\)
C) Кольцевая область \(1\le x^2+y^2\le4\), включая обе границы
D) Объединение областей \(x^2+y^2<1\) и \(x^2+y^2>4\)

9. При \(x=2\) какие значения \(y\) удовлетворяют системе? \[ \begin{cases} y\le x^2,\\ y\ge -x^2 \end{cases} \]

A) \(-4\le y\le4\)
B) \(y\le-4\)
C) \(y\ge4\)
D) \(-2\le y\le2\)

10. Сколько точек с целыми координатами удовлетворяет системе? \[ \begin{cases} x^2+y^2\le4,\\ y\ge1 \end{cases} \]

A) 3
B) 5
C) 6
D) 4

Ответы

1 — C
2 — B
3 — D
4 — A
5 — C
6 — B
7 — D
8 — C
9 — A
10 — D